[探索研究]
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定
abc?sinA，?sinB，又sinC?1?, cccabc则???c b c sinAsinBsinCabc从而在直角三角形ABC中， C a B ??sinAsinBsinC义，有
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinB?bsinA,则同理可得从而
asinA?bsinB， C csinC??bsinB?， b a A c B
sinAsinBsinC (图1．1-3)
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
abcasinA?bsinB?csinC
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC； （2）
asinAsinBsinC从而知正弦定理的基本作用为：
?b?c等价于
asinA?bsinB，
csinC?bsinB，
asinA?csinC
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?bsinA； sinB②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析]
例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理，
abC?1800?(A?B)
?1800?(32.00?81.80)
?66.20；
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)；
sinAsin32.00根据正弦定理，
asinC42.9sin66.20c???74.1(cm). 0sinAsin32.0评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
bsinA28sin400 sinB???0.8999.
a20因为00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160. ⑴ 当B?640时，
C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760，
asinC20sin760c???30(cm).
sinAsin400⑵ 当B?1160时，
C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，
asinC20sin240c???13(cm).
sinAsin400[补充练习]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c （答案：1：2：3）
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
rruurruurruurrrrr如图1．1-5，设CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，则 b c
rrrrrrc?c?c?a?ba?brrrrrrr ?ab?b?r2ar?b C a B
r?2a?r2 ?a?b?2a?b2r????从而 c2?a2?b2?2abcosC (图1．1-5) 同理可证 a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB c2?a2?b2?2abcosC
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
b2?c2?a2 cosA?2bca2?c2?b2 cosB?2acb2?a2?c2 cosC?2ba[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若?ABC中，C=900，则cosC?0，这时c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 [例题分析]
例1．在?ABC中，已知a?23，c?6?2，B?600，求b及A ⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB
=(23)2?(6?2)2?2?23?(6?2)cos450 =12?(6?2)2?43(3?1) =8 ∴b?22.
求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b2?c2?a2(22)2?(6?2)2?(23)21??, ⑵解法一：∵cosA?2bc22?22?(6?2) ∴A?600.
例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形 解：由余弦定理的推论得：
b2?c2?a2cosA?
2bc
87.82?161.72?134.62 ?2?87.8?161.7?0.5543, A?56020?；
高中数学必修五全套教案
