1.求下列函数的极值。
第四章 习题答案
2x
1?2xlnx3?x?1? （3）y??x?1??16 （4）y?x（1）y?x?xy?y?3ax?3by （2）y22? 解：（1）根据二元函数极值的必要条件，可得
fx?2x?y?3a?0，fy?x?2y?3b?0
解得，(x,y)?(2a?b,2b?a)为可能的极值点。
根据充分条件，函数f(x,y)的二阶导师组成的Hessian矩阵为
H?3?0，因此(2a?b,2b?a)为f(x,y)的严格极小值点，极值为?3a2?5ab?3b2。
（2）根据一元函数极值的必要条件，可得
因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。 （3）根据一元函数极值的必要条件，可得 求得极值点为x?1。
由充分条件知y?6x?6。
当x?1时y?0，所以该函数极值不存在。 （4）根据一元函数极值的必要条件，可得 求的极值点为x?e。
''''2xlnx?3x。 4x11当x?e时，y''??3?0，因此该函数存在极大值为。
ee 由充分条件知
y''? 2. 讨论函数f?x，y??xyx?y?1的极值。
22?? 解：根据二元函数极值的必要条件，可得 (x,y)11111111?(0,0),(x,y)?(,),(x,y)?(,?),(x,y)?(?,),(x,y)?(?,?) 为可
22222222能的极值点。
根据充分条件，函数f(x,y)的二阶导师组成的Hessian矩阵为
(x,y)?(0,0)时，H??1?0，因此函数在该点无极值；
311(x,y)?(,)时，H?212221为?；
812?2?0，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值32311(x,y)?(?,?)时，H?212221值为?；
83?11(x,y)?(,?)时，H?2122212?2?0，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小3212?2?0，(?1)A?0,(?1)2A?0，则海赛矩阵为负
123?21定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为；
831?11(x,y)?(?,)时，H?22?2?0，(?1)A1?0,(?1)2A2?0，则海赛矩阵为负
1322?221定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为
8 3. 试说明对于任意的?，? 证明：
?0，生产函数f(x)?AK?L?是凹函数。
,fKL?A?K??1fK?A?K??1L??L??1
fKK?A?(??1)K??2L?,fLL?A?(??1)K?L??2
所以函数的Hessian矩阵为 因为0???1,0???1，所以H(K,L)?0;且(?1)A1?0,(?1)2A2?0,Hessian是 负
定的，因此生产函数是严格凹函数。 4. 考虑生产函数y?LK。如果0??αβ?1，0???1，????1，试说明该生产函数对于
L和K的任意取值都是严格凹函数。如果????1，该函数是什么形状
证明：（1）同上，可求得函数的Hessian矩阵为
Hessian是负定的，该函数对于K、L任意取值都是严格凹函数。
5. 某完全竞争厂商由单一可变投入L（劳动），每期工资率为W0。若该厂商每期的固定成本为F，产品的价格为P0，要求：
（1） 写出厂商的生产函数、收益函数、成本函数和利润函数； （2） 何为利润最大化的一阶条件解释此条件的经济意义；
（3） 什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小 解:（1）生产函数为：Q?f(L) 收益函数为：R?P?Q?P?f(L) 成本函数为：C?L?W0?F
利润函数为：??R?C?Pf(L)?(LW0?F)
（2）利润最大化的一阶条件为：
df(L)W0??df(L)?。该条件的经济?P?W0?0，即
LP?LL含义为：在利润最大化时，单个要素的边际产量等于要素单位成本与产品价格的比值。 （3）要满足利润最大化而不是最小，则要满足利润最大化的二阶充分条件： 因为P?0，所以df(L)2dL2，也就是说，在边际产出递减规律的经济条件下才能实现利润最
?0大化.
6. 某厂商有如下的总成本函数C与总需求函数Q：
1C?Q3-7Q2?111Q?50， Q?100?P.
3请回答下列问题：
（1） 确定总收益函数R与总利润函数?。 （2） 确定利润最大化的产出水平及最大利润。 解：（1）R?PQ?Q(100?Q) (2)利润最大化的一阶必要条件为：
解得，Q?1,Q?11。
??利润最大化的二阶充分条件为：
????2Q?12， 2?Q当Q?1时，
???0，函数取得极小值为； ?2Q???0，函数取得极大值为； 2?Q当Q?11时，
所以，在产出水平为11时，利润最大为。
7. 设有二次利润函数??Q??hQ?jQ?k，试确定系数所满足的约束，使下列命题成立：
2（1） 证明若什么也不生产，由于固定成本的关系，利润将为负； （2） 证明利润函数为严格凹函数；
数理经济学茹少峰第章课后题及答案
