∵????=????，∠??????=58°，
∴∠??????=58°
∴∠??????=180°?2×58°=64°
∵????是⊙??的切线， ∴∠??????=90°，
∴∠??=90°?64°=26°； (????)∵∠??????=64°， ∴∠??=∠??????=32°，
21
∵????=????，
∴∠??????=∠??????=74°， ∵∠??????=58°，
∴∠??????=74°?58°=16°， ∵∠??????=∠??????+∠??????， ∴∠??????=64°?16°=48°．
【解析】(??)根据等腰三角形中有一底角为58度时，可得∠??????=64°，根据切线的性质得出∠??????=90°，进而求得∠??的度数；
(????)先由(??)知∠??????=64°，根据圆周角定理得∠??=2∠??????=32°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠??????=∠??????=74°，最后由三角形外角的性质可得结论． 本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 22.【答案】解：(Ⅰ)∵??(5，0)，点??(0,3)， ∴????=6，????=4，
由翻折可知：∠??????=∠??????， ∵????//????，
∴∠??????=∠??????， ∴∠??????=∠??????， ∴????=????=6， 在????△??????中，
∵∠??=90°，????=4，????=6，
∴????=√????2?????2?=√62?42?=2√5， ∴????=?????????=6?2√5， ∴??(6?2√5,4)．
(Ⅱ)如图②，连接????′交OP于D．
1
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在????△??????中，∵????=4，????=3， ∴????=√????2+????2=√42+32=5， ∵????垂直平分线段????′， 又∵2?????????=2?????????， ∴????=
93×451
1
=
125
，
????=，
5
∵????=????，????=????′， ∴????′=2????=
185
．
【解析】(Ⅰ)如图①，证明????=????=6，利用勾股定理求出PB即求出点P的坐标． (Ⅱ)如图②，连接????′交OP于??.解直角三角形求出PD，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
23.【答案】解：(1)把??(??,1)代入??=??得??=1； (2)∵??=????2+????+4的图象与x轴只有一个交点， ∴{∴{
??+??+4=1
，
△=??2?16??=0??=1??=9
或{；
??=?4??=?12
??+32
)2??
??
9
5
(3)把??(1,1)代入??=????2+????+4得，??=?3???， ∴??=????2?(??+3)??+4=??(???∴对称轴为直线??=∵1≤??≤2， ∴4≤??=
15
??+32??
??+32??
?4?4??+2，
，
≤2，
∵2≤??≤2，
∴当??=2时，??=????2+????+4的最大值为??=?4+2， 当??=2时，??=?4?4??+2，
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??
9
5
1
??
5
∴?????=4??，
∵1≤??≤2，
∴当??=2时，?????的值最小， 即?????的最小值8．
【解析】(1)把??(??,1)代入??=??即可得到结论； (2)根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；
(3)把??(1,1)代入??=????2+????+4得，??=?3???，得到??=????2?(??+3)??+4的对称轴为直线??=
??
5
??+3
9
9
，根据1≤??≤2，得到对称轴的取值范围2≤??≤2，当??=2时，得到2??
??
9
5
11
??=?4+2，当??=2时，得到??=?4?4??+2，即可得到结论．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．
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2024年天津市河北区中考数学一模试卷(含答案解析)
