2017年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛
八年级决赛试题
（时量：120分钟 满分：100分）
、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30 分）
（请将惟一正确的选项代号填在下面的答题卡内） 3 4 5 题号 1 2 6 7 8 9 10 答案 2 2
1、多项式a ? b-2a -4b ? 5的值总为（
A、非负数 2、比较2,
B、零
5 , 3 7的大小，正确的是（
B、 2 ；：
） C、负数
D、正数
) C、 7 ::: 2 ：：: 5
)
C、2 -x
b C
A、2 ：：: . 5 ； J7
D、-. 5 ；：.打：：:2 D、4-3x
苗：：:5
3、当 2x -3
A、x - 2
0 时， |x-1|、.9-12x 4x2 =(
B、3x-4
4、设 a b c> 0,
a b c =1 , M 二
)
B、 N > P> M
间的大小关系是（ A、 M >P >N
,N，C,P
a b
C、P > M >N
a b
c
，则M , N,P之
D、P >N >M
2
5、下列五个命题：①若直角三角形的两条边长为 3与4,则第三边长是5 ； （Ja =；a
③若点P（a,b）在第三象限，则点Q（-a,小1）在第一象限；④连结对角线垂直且相 等的四边形各边中点的四边形是正方形；⑤两边及其第三边上的中线对应相等的
两个三角形全等?其中正确的命题的个数是（ ）
）
D、1 A、2个 B、3个 C、4个 6、 在\ABC中，AC=5，中线 AD=4，贝U AB的取值范围是（ A、3 B、5 C、9 k 7、 如图，直线I和双曲线y （ k 0）交于A、B两点， x P是线段AB上的点（不与 A、B重合），过点A、B、P 分别向x轴作垂线，垂足分别为 C、D、E，连接OA、OB、 0卩，设厶AOC的面积为$、△ BOD的面积为S2、△ POE 的面积为S3， 第7题 A、S1 :：. S2 S3 B、S J S2 S3 C、 —S2 :: S3 D、 S = S2 A S3 &有铅笔，练习本，圆珠笔三种学习用品?若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支 共需3.15 元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元?现购铅笔、 练习本、圆珠笔各1件，共需（ ） A、1.2 元 B、1.05 元 C、0.95 元 D、0.9 元 2Y + a 9、关于x的方程竺二=1的解是正数，则a的取值范围是（ x—1 B、a ■ -1 且 a = 0 c、a ：：： -1 10、如图所示，已知△ ABC和厶DCE均是等边三角形，点B、 C、E在同一条直线上， AE与BD交于点 O, AE与CD 交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG,则下列 结论：① AE = BD :② AG= BF :③ FG // BE;④/ BOC = / EOC，其中正确结论的个数（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24 分） 11、若 a 3b =0，则(1 b a - 2b) a2 2ab b2 a -4b 2 2 12、已知 0 咗x 玄1，若 x2 y2 =3， xy =1，则 x「y = ______________ , 13、 ____________________________________________________________________ 分解因式： 3x2，5xy—2y2 x ? 9y-4 二 ________________________________________ . 14、 // AB，/ BAE = / BCD，AE丄 DE，/ D = 130 ° 则/ B = 如图，DC . 人数统计 15、如图是根据某初中为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生有 2000人，请根据统计图计算该校共捐款 ______________ 16、 设多项式ax5 bx3 cx M，已知当x = 0时, M = -5 ；当 x - -3时，M =7，则当 x = 3时， M = . 17、 如图，直线y =kx+b过点A （0，2），且与直线 1 y =mx交于点P （1， m），贝V关于x的不等式组 2 mx > kx+ b > mx— 2 的解集是 ______________ . 18、如图，在平面直角坐标系中，边长为 1的正方形 OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M仁以M1A1为 对角线作第二个正方形 A2A1B2 M1，对角线A1 M1和 A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形 A3A1B3 M2,对角线A1 M2和A3B3交于点M3；……， 依次类推，这样作的第n个正方形对角线交点的坐标 为 Mn . 第18题 2 三、解答题（本题有4小题，共46分） 19、（本题满分12分） “六一”前夕，某玩具经销商用去 2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具 共50套，并且购进的三种玩具都不少于 三种电动玩具的进价和售价如右表所示. 型号 进价（元/套） 售价（元/套） ⑵求y与x之间的函数关系式； ⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出， 出各种费用200元. ① 求出利润P（元）与X（套）之间的函数关系式； ② 求出利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套. 且在购销这种玩具的过程中需要另外支 10套，设购进A种玩具x套，B种玩具y套, A 40 50 B 55 80 C 50 65 ⑴用含x、y的代数式表示购进 C种玩具的套数； 20、（本题满分12分） 如图，在正方形 ABCD中，E是AB边上任意一点，BG丄CE,垂足为点 O,交 AC于点F，交AD于点G. （1） 证明：BE=AG ; （2） 点E位于什么位置时，/ AEF=Z CEB，说明理由. 3 21、（本题满分12分） 1 在平面直角坐标系内有两点 5 2 A （-2 , 0）, B （4, 0）和直线|：y= —x+—.在直 2 线l上是否存在点P，使LABP为直角三角形，若存在，请求出 P点的坐标；若不存 在，请说明理由? 22、（本题满分10 分） 已知a，b是实数，若关于 求a，b满足的关系式 x，y的方程组 y = x -ax 3 y = ax + b bx '有整数解x, 4 「 （2017年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛 八年级试题参考答案与评分标准 、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30 分） 题号 3 4 5 1 2 6 A C B D A 答案: B : 、填空题（本题有 7 C 8 B 9 D 10 D : 8小题，每小题3分，共24 分） 13、(3x - y 4)(x 2y -1) 11、5 2 12、-1 15 、 14 、 40° 25180 2 - 1 1 ‘ 11 16、-17 17 、 1 ：：: X ：：: 2 三、解答题（本题有4小题，共46分） 19 、（本题满分12分） 18、（1 2“，-书写形式 (2n ，2n) 一 4 解：解：(1)购进C种玩具套数为：50-x — y (或47- x— 11 y) ..... 2分 5 (2) 由题意得 40x 55y ? 50(x - y) =2350 , 整理得 y=2x-30 (3) ①利润=销售收入一进价一其它费用 10 ……5分 p =(50 -40)x (80 -55)y (65 -50)(50 - x - y) -200 ................................ 6 分 又??? y =2x -30 ???整理得 p =15x 250 ............................................................ 7 分 ②购进C种电动玩具的套数为： 50 -x -y =50 -x -（2x-30） =80 -3x x -10 据题意列不等式组 3 80 -3x -10 2x -30 _10，解得 20 _ x _ 70 ? x的范围为20乞X ，且x为整数 x的最大值是23 10分 3 ???在p =15x 250中，k =15 > 0 ? P随x的增大而增大 ???当x取最大值23时，P有最大值，最大值为 595元.此时购进 A B、C种 玩具分别为23套、16套、11套. .......................... 12分 20、（本题满分12分） 解（1）证明：???四边形 ABCD是正方形， C ???/ ABC=Z BAD=90° ?/ BG丄 BOC=90° 1 + / 3=90°, 2+ / 3=90°, ???/ 1 = / 2. ................................ 2 分 在厶GAB和厶EBC中， ???/ GAB= / EBC=90° ,AB=BC,Z 1 = / 2; ? △ GAB^A EBC (ASA) ? AG=BE. ............ 5 分 5 .................................. 6 分 (2)解：当点 E位于线段 AB中点时，/ AEF= / CEB. ........................................ 7分 理由如下：若当点 E位于线段AB中点时，贝U AE=BE, 由(1)可知，AG=BE ??? AG=AE. ???四边形 ABCD 是正方形，?/ GAF = Z EAF=45°. .................................... 8 分 又??? AF=AF,?\◎△ EAF (SAS)，?/ AGF = / AEF. ....................... 10 分 由(1)知，△ GABBA EBC 21、(本题满分12分) 解：(1)如果点A或点B为直角顶点，则点 P的横坐标为-2或4.易得 AGF = Z CEB, AEF= / CEB. ……12 分 3 9 R(—2,—) , “(4,—) . 2 2 ........................................................... 4 分 (2)如果点P为直角顶点，则线段 AB为斜边，AB=6, AB的中点为C(1,0)，连结PC,则PC=3. ..................................... 6分 1 5 设P点的坐标为P (x, x )，作PD_AB于点D , 2 2 I 5 则 CD PD -PC ,即(1 —x) ( x )=3, 2 2 整理得 5x2 2x -7 =0 . 7 9 11分 相应地 y1 , y2 =3. P3^-,-), P4(1,3) 5 5 5 3 - 7 9 ， 综上在直线丨上存在四个点P: R(-2,—) , P2(4, —) , P3(~■-厂),P4(1,3), 2 2 5 5 使 ABP为直角三角形. ............................................... 12分 22、(本题满分10分) 解：将 y 二 ax ? b 代入 y = x3 - ax2 - bx，消去 a、b，得 y = x3 - xy , 即(x 1)y = x3. 3 9 .............................................................................. 4 分 若x+仁0,即X = -1，则上式左边为0，右边为-1不可能，所以X+1M 0.于是 x x 1 即x = -2或x =0,进而y=8或y =0.故丿 x - x 1 2 彳 因为X、y都是整数，所以 x = —2 畀=8 x = 0 或丿 ) = 0 )=8 x = 0 当丿 时，代入y=ax + b得，b=0. $=0 x = -2 当』 时，代入y =ax +b得，2a —b + 8 =0 ； 综上所述，a、b满足关系式是2a-b，8 = 0，或者b=0 , a是任意实数.…10分 6
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