2024年高考全国1卷理科数学试题和答案
普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。 1．设z?1?i?2i，则|z|? 1?iB．
A．0
1 2C．1 D．2 2．已知集合A?{x|x2?x?2?0}，则eRA? A．{x|?1?x?2} C．{x|x??1}U{x|x?2}
B．{x|?1≤x≤2} D．{x|x≤?1}U{x|x≥2}
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记Sn为等差数列{an}的前n项和. 若3S3?S2?S4，a1=2，则a5= A．?12 切线方程为 A．y??2x
B．y??x
C．y?2x
D．y?x
uur6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB?
ur1uuurur3uuur3uu1uuA．AB?AC B．AB?AC
4444
B．?10 C．10 D．12
5．设函数f(x)?x3?(a?1)x2?ax. 若f(x)为奇函数，则曲线y?f(x)在点(0,0)处的
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C．
ur1uuur3uuAB?AC 44 D．
ur3uuur1uuAB?AC 447．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表 面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧 面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 A．217 C．3
B．25 D．2
8．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点(-2,0)且斜率为uuuruuur两点，则FM?FN2的直线与C交于M，N3D．8
B．6
C．7
A．5
?ex,x≤0,9．已知函数f(x)?? g(x)?f(x)?x?a. 若g(x)存在2个零点，则a的
?lnx,x?0,取值范围是 A．[?1,0)
B．[0,??)
C．[?1,??)
D．[1,??)
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个
半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则
A．p1?p2 B．p1?p3 C．p2?p3
D．p1?p2?p3
x211．已知双曲线C：-y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的
3两条渐近线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则|MN|= A．
3 2B．3
C．23 D．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面?所成的角都相等，则?截此正方
体所得截面面积的最大值为
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A．
33 4B．23 3C．32 4D．3 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?x?2y?2≤0,?13．若x，y满足约束条件?x?y?1≥0, 则z?3x?2y的最大值为 .
?y≤0,?14．记Sn为数列{an}的前n项和. 若Sn?2an?1，则S6? .
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的
选法共有 种.（用数字填写答案）
16．已知函数f(x)?2sinx?sin2x，则f(x)的最小值是 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
在平面四边形ABCD中，?ADC?90?，?A?45?，AB?2，BD?5. （1）求cos?ADB； （2）若DC?22，求BC.
18．（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF?BF.
（1）证明：平面PEF?平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 19．（12分）
x2设椭圆C：?y2?1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的
2坐标为(2,0).
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：?OMA??OMB. 20．（12分）
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某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为p(0?p?1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0. （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值. 已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21．（12分）
1已知函数f(x)??x?alnx.
x（1）讨论f(x)的单调性；
f(x1)?f(x2)（2）若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：?a?2.
x1?x2
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?k|x|?2. 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?2?2?cos??3?0.
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知f(x)?|x?1|?|ax?1|.
（1）当a?1时，求不等式f(x)?1的解集；
（2）若x?(0,1)时不等式f(x)?x成立，求a的取值范围.
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理科数学试题参考答案
一、选择题 1．C 7．B
二、填空题 13．6
三、解答题 17．解：
（1）在△ABD中，由正弦定理得由题设知，
BDAB. ?sin?Asin?ADB
2．B 8．D
3．A 9．C
4．B 10．A
5．D 11．B
6．A 12．A
14．?63 15．16 16．?33 2252. ?,所以sin?ADB?5sin45?sin?ADB
由题设知，?ADB?90?， 所以cos?ADB?1?223. ?255（2）由题设及（1）知，cos?BDC?sin?ADB?在△BCD中，由余弦定理得
BC2?BD2?DC2?2?BD?DC?cos?BDC?25?8?2?5?22??25.252. 5
所以BC?5.
（微信公众号：长风数学） 18．解：
（1）由已知可得，BF?PF，BF?EF，所以BF?平面PEF.
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