答（3）题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解．
14．（2019·河南省中考模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x??0），C（0，2）两点，直线l：y=kx+t（k≠0）经过A，C．
3，且经过A（﹣4，2
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一个动点，过点P作PD△x轴于点D，交AC于点E，过点P作PF△AC，垂足为F，当△PEF△△AED时，求出点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
??355?35?1?1231P??5,?,Q的坐标为：【答案】（1）y??x?x?2，y?x?2；（2）；（3）存在，???????222222?????355??355??371??371??3??,2??,2??,??,?或?或?或?或??,0?． ??????????2???2??22??2?2??22??2?【解析】
1?a????16a?4b?c?02??b33????（1）把点A、C的坐标和对称轴表达式代入二次函数表达式得：??，解得：?b??，故
22?2a???c?2?c?2??抛物线的表达式为：y??123x?x+2； 221x+2； 2同理把点A、C坐标代入直线l表达式并解得：y?（2）设P点坐标为（n，?1123311n?n+2），∥E点坐标为（n，n+2），∥PE??n2?n+2?n﹣2，DE
222222
?1n+2． 2∥A（﹣4，0），C（0，2），OA=4，OC=2，AC=25．
DEOC21??∥PD∥x轴于点D，∥∥ADE=90°，∥sin∥EAD=sin∥CAO，∥AE?5DE?5（n+2），，AEAC252当∥PEF∥∥AED时，PE=AE，?112
n﹣2n?5（n+2），解得：n=﹣4或?5（舍去﹣4），∥n=?5，22∥P（?5，35?1）； 2（3）存在，理由如下：
∥以A为顶角顶点，AQ=AC，由（2）知AC=25，若设对称轴与x轴交于点G，则AG??GQ1=GQ2?53?（﹣4）?； 22335555555，故点Q1、Q2的坐标分别为（?，）、（?，?）； (25)2?()2?2222223，2），2∥以C为顶角顶点，CQ=CA=25，过点C作x轴的平行线，交抛物线的对称轴于点M，则M（?则CM?333717171MQ3?(25)2?()2?Q3G=2?Q4G=﹣2?Q4坐标分别为，，，，故Q3、（?，
2222222?37171）、（?，2?）；
2223，0）； 2∥以点Q为顶角顶点时，同理可得点Q5（?
故点Q的坐标为：（?0）． 【点睛】
3333355557171，）或（?，?）或（?，2?）或（?，2?）或（?，222222222
本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、等腰三角形性质、三角形全等和相似等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
215．（2018·山东省中考模拟）如图，二次函数y??x?3x?m的图象与x轴的一个交点为B?4,0?，另一
个交点为A，且与y轴相交于C点
?1?求m的值及C点坐标；
?2?在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求
出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由
?3?P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②点P的横坐标为t(0?t?4)，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．
【答案】?1?m?4，C?0,4?；?2?存在，M?2,6?；?3?①P1?5,1?5或P1?5,1?5；②当
????t?2时，S四边形PBQC最大?16.
【解析】
解：（1）将B（4，0）代入y??x?3x?m，解得，m=4， ∥二次函数解析式为y??x2?3x?4，令x=0，得y=4， ∥C（0，4）；
（2）存在，理由：∥B（4，0），C（0，4），
2
∥直线BC解析式为y=﹣x+4，∥MBC面积最大， 当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，
y??x?4?b∥{， y??x2?3x?4∥?4(t?2)2?16， ∥∥=16﹣4b=0，∥b=4， ∥??x?2，∥M（2，6）； y?6?（3）∥如图，∥点P在抛物线上，
∥设P（m，?m2?3m?4），当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，∥B（4，0），C（0，4），
∥线段BC的垂直平分线的解析式为y=x， ∥m=?m2?3m?4， ∥m=1?5，
∥P（1?5，1?5）或P（1?5，1?5）；
∥如图，设点P（t，?t2?3t?4），过点P作y轴的平行线l，过点C作l的垂线， ∥点D在直线BC上，∥D（t，﹣t+4），
∥PD=?t2?3t?4﹣（﹣t+4）=?t2?4t，BE+CF=4， ∥S四边形PBQC=2S∥PDC=2（S∥PCD+S∥BD）=2（∥0＜t＜4，
∥当t=2时，S四边形PBQC最大=16．
11PD×CF+PD×BE）=4PD=?4t2?16t?4(t?2)2?16 22
考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；压轴题．
16．（2019·南召县板山坪镇联合中学中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x﹣3经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第四象限内抛物线上的动点，过点P作PD△x轴于点D，交直线BC于点M，连接AC，过点M作MN△AC于点N，设点P的横坐标为t．
△求线段MN的长d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
△点Q是平面内一点，是否存在一点P，使以B，C，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）∥d?【解析】
2101+5． t；∥存在，t＝1或52（1）由直线y＝x﹣3过B，C两点，得B（3，0），C（0，﹣3）， 将点B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c中，
?9?3b?c?0 得?c??3.?解得??b??2
?c??3.故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
(二次函数压轴大题)中考数学考点必杀刷题
