（1,0）、（B3,0）﹣3 得：? 代入y?ax2?bx（1）将A?a?b?3?0 ，
?9a?3b?3?0?a??1 ， 解得?b?4?抛物线解析式y??x?4x?3； （2）存在点P使得∥BPQ为等腰三角形， ∥B（3，0），C（0，﹣3），
∥设直线BC的解析式为y＝kx?b，
2∥??b??3 ，
?3k?b?0解得：k?1，b??3 ，
﹣3， ∥直线BC的解析式为y?x（a，a?3）（a,?a?4a?3）设P，则Q，可分三种情况考虑：
∥当PB＝BQ时，由题意得P、Q关于x轴对称， ∥?a2?4a?3?a?3＝0， 解得：a?2，a?3（舍去），
2（2,1）∥P ，
22∥当PQ＝BQ时，(?a2?3a） ， ＝（2a?3）∥a?，a?3(舍去) ， 2 ，a??2 （舍去）
∥P(2,42?5)，
22∥当PQ＝PB时，有(?a2?3a） ， ＝（a﹣）32?（a2﹣4a?3）整理得：a2?1?（a﹣）12 ， 解得a＝1 ． ∥P ． （10，）综合以上可得P点坐标为P1（1，0），P2（2，1），P3(2,42?5)；
（3）∥∥BDE∥∥CEB， ∥∥ABE＝∥ACB， ∥∥BAE＝∥CAB， ∥∥ABE∥∥ACB， 又∥AC?∥
12?32?10 ，
AEAB ?ABACAE2?∥ 210∥AE?210 5∥DEBC，设D ， （m，0）∥
AEAD? ACAB25m?1 ∥5?210∥m?9 5∥D(,0) . 【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质、利用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式、解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式及解方程是解题的关键．
2B?3,0?，11．（2024·天津中考模拟）已知抛物线y?ax?bx?3（a，且a?0），经过点A??1,0?，b是常数，
95与y轴交于点C.
（△）求抛物线的解析式；
（△）若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，交抛物线于点Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；
（△）在（△）的条件下，当点P在线段BC上时，设PH?e，已知d，e是以z为未知数的一元二次方
程z??m?3?z?215m2?2m?13??0（m为常数）的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ，MH，?4PM，且MP平分?QMH，求出t值及点M的坐标.
【答案】（∥）y??x2?2x?3；（∥）d??t?3t2(0?t?3)，d?t2?3t(t?3)；（∥）t值为1，M点坐标为1?2,2或1?2,2. 【解析】
解：（∥）将A??1,0?,B?3,0?代入y?ax?bx?3，
2?????a?b?3?0,?a??1, 得?解得??9a?3b?3?0.?b?2.∥抛物线的解析式为y??x2?2x?3； （∥）∥C点的坐标为?0,3?， 设直线BC的方程为y?kx?3， 将B?3,0?代入，得3k?3?0. 解得k?1.
∥直线BC的方程为y??x?3.
∥P点的横坐标为t，且PQ垂直于x轴，
∥P点的坐标为?t,?t?3?，Q点的坐标为t,?t?2t?3.
2??∥如图，当点P在线段CB上时，
PQ??t2?2t?3???t?3???t2?3t.
∥如图，当点P在射线BN上时，
PQ??t?3??t2?2t?3?t2?3t.
∥OB?3，
????t2?3t(0?t?3)∥d?? 2?t?3t(t?3)15m2?2m?13?0的两个实数根. 421?∥Δ?0，即Δ???m?3?4?5m2?2m?130. ????4（∥）∥d,e是z??m?3?z?2????整理得：Δ??4?m?1?∥4?m?1??0. ∥m?1.
220.
∥方程为z2?4z?4?0. 解得z1?z2?2.
∥PQ与PH是z2?4z?4?0的两个实数根， 所以PQ?PH?2. 即PH??t?3?2. ∥t?1.
如图，延长MP至L，使LP?MP，连接LQ，LH， ∥LP?MP，PQ?PH， ∥四边形LQMH是平行四边形. ∥LHQM.
∥?QML??MLH.
∥?QML??LMH， ∥?MLH??LMH. ∥HL?HM. ∥LQMH是菱形. ∥PM?QH.
∥点M的纵坐标与点P纵坐标相等，都是2.
在y??x?2x?3中，当y?2时，?x2?2x?3?2. ∥x2?2x?1?0. 解得x1?1?2,2x2?1?2.
综上所述：t值为1，M点坐标为1?2,2或1?2,2.
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【点睛】
本题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，根的判别式的运用，一元二次方程的解法的运用，平行四边形的判定及性质的运用，菱形的判定及性质的运用，分类讨论思想的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
12．0）（2024·吉林省中考模拟）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN△y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(二次函数压轴大题)中考数学考点必杀刷题
