（二次函数压轴大题）中考考点必刷题
221．（2019·辽宁省中考模拟）如图，抛物线y??x?bx?c与x轴交于A，点、B两点（点A在点B的左侧）
3A的坐标为??1,0?，与y轴交于点C?2,0?，直线CD:y??x?2与x轴交于点D．动点M在抛物线上
运动，过点M作MP?x轴，垂足为P，交直线CD于点N． （1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OD上时，?CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）y??x2?或??1,0?或【解析】 解：（1）
237494x?2；（2）存在．当a?时，S?CDM有最大值为；（3）F点坐标为?3,0?2434?7,0或?7,0．
???抛物线经过点A??1,0?，点C?0,2?，
42?2??????1??b?c?0?b???3，解得?3， ??c?2??c?224?抛物线的解析式为y??x2?x?2；
33（2）存在．
当y?0,?x?2?0，解得x?2，则D?2,0?，
设M?x,???224?x?x?2?，则N?x,?x?2?， 33?2427?MN??x2?x?2???x?2? ??x2?x，
3333?S?CDM12727?49??MN?2??x2?x ???， x????2333?4?2422a???0，
3749?当a?时，S?CDM有最大值为；
42443?1， （3）抛物线的对称轴为直线x???2?2?????3??E?1,0?，
当CM//EF时，则M?2,2?，
以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形，
?CM＝EF＝2，
?F点坐标为?3,0?或??1,0?
当CE//MF时，
以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形，
?CM?EF，
点C向右平移1个单位，向下平移2个单位得到E点，
?点F向右平移1个单位，向下平移2个单位得到M点，
设F?t,0?，则M?t?1,?2?， 把M?t?1,?2?代入y??此时F点坐标为
224242x?x?2得??t?1???t?1??2??2，解得t1?7,t2??7， 3333?7,0,?7,0，
???综上所述，F点坐标为?3,0?或??1,0?或【点睛】
?7,0或?7,0．
???本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的
性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
1x?1分别与x轴，y轴交于点A，B，21?bx?c经过A，C两点，与x轴点C是第一象限内的一点，且AB?AC，AB?AC，抛物线y??x222．（2019·山东省中考模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线y??的另一交点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）判断直线AB与CD的位置关系，并证明你的结论；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，B，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）二次函数的解析式为y??129x?x?7；（2）AB∥CD，证明见解析；（3）点N的坐标分别22为（9-339-179?179?33-1），1），（，1），（，-1），（． 2222【解析】
解：（1）由题意可求点A(2，0)，点B（0,1）． 过点C作CE∥x轴，易证∥AOB∥∥ECA． ∥ OA=CE=2，OB=AE=1． ∥ 点C的坐标为（3,2）．
将点A(2，0)，点C(3，2)代入y??12x?bx?c， 2?2?2b?c?09b?2． 得{9，，解得{??3b?c?2c??72
∥二次函数的解析式为y??129x?x?7． 22
（2）AB∥CD．证明如下： 令?129x?x?7?0，解得x?7． 22∥ D点坐标为（7,0）． 可求AC?5,CD?25,AD?5．
∥∥ACD为直角三角形，∥ACD=90°． 又∥∥BAC=90°， ∥ AB∥CD．
（3）如图，由题意可知，要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等． ∥ B点坐标为（0,1）， ∥ 点N到x轴的距离等于1． 可得?12919x?x?7?1和?x2?x?7??1． 22229-179+179?339?33． ,x2?,x3?,x4?22229-339-179?179?33，1），（，1），（，-1），（，-1）．
2222解这两个方程得x1?∥点N的坐标分别为（【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理和逆定
理；平行的判定；平行四边形的判定；解一元二次方程；分类思想的应用．
3．（2019·广东省中考模拟）已知抛物线??=????2+????+3经过??(?1,0)和??(3,0)两点，与??轴交于点??，点??为第一象限抛物线上一动点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接????，交????于点??，当??????????:??????????=1:2时，求出点??的坐标；
(3)如图2，点??的坐标为(0,?1)，点??为??轴正半轴上一点，连接????，是否存在点??，使∠??????=∠??????=15°，2∠??????？若存在，请求出点??的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)??=???2+2??+3；(2)??(√3,2√3)；(3)??(【解析】
解：(1)将??(?1,0)和??(3,0)代入??=????2+????+3得：
?????+3=0
{
9??+3??+3=0
??=?1
解得：{
??=2
∥抛物线的解析式为：??=???2+2??+3. (2)作????⊥??轴，垂足为??，
1+√17√17?1,) 22
∥??????????:??????????=1:2 ∥????=2，????=3，
????
1
????
1
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