衡水中学2024届一轮复习理数用书

集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、

推理与证明、不等式及线性规划

第一讲 集合与常用逻辑用语

高考考点 考点解读 1.以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、集合的概念及运算 补的基本运算 2．利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围 3．以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算 1.命题的四种形式及命题的真假判断 命题及逻辑联结词 2．复合命题的真假判断，常与函数、三角、解析几何、不等式相结合考查 1.充要性的判定多与函数、不等式、三角、直线间关系、平面向量等充要条件的判断 易混易错的概念、性质相结合考查 2．利用充要性求参数值或取值范围 备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面：

(1)紧紧抓住集合的代表元素的实际意义，掌握集合问题的常见解法，活用数学思想解决

问题．

(2)明确命题的条件和结论之间的关系，关注逻辑联结词和命题，明确命题的否定和否命题的区别．

(3)掌握必要条件、充分条件与充要条件的概念及应用． 预测2024年命题热点为：

(1)集合的基本性质以及集合之间的基本关系与运算，与不等式的解集、函数的定义域、值域、方程的解集等知识结合在一起考查．

(2)与函数、数列、三角函数、不等式、立体几何、解析几何、概率统计等知识结合在一起考查．

知识整合Zhi shi zheng he

1．集合的概念、关系及运算

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性. (2)集合与集合之间的关系：A?B，B?C?A?C． (3)空集是任何集合的子集.

(4)含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． (5)重要结论：A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A. 2．充要条件

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满中条件q}，则有

从逻辑观点看 p是q的充分不必要条件(p?q，q?/ p) p是q的必要不充分条件(q?p，p?/ q) p是q的充要条件(p?q) p是q的既不充分也不必要条件(p?/ q，q?/ p) 3.简单的逻辑联结词 (1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．

(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)． 4．全(特)称命题及其否定

从集合观点看 AB BA A＝B A与B互不包含 (1)全称命题p：?x∈M，p(x)．它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0).

易错警示

(2)特称命题p：?x0∈M，p(x)．它的否定綈p：?x∈M，綈p(x).,Yi cuo jing shi 1．忽略集合元素互异性：

在求解与集合有关的参数问题时，一定要注意集合元素的互异性，否则容易产生增根． 2．忽略空集：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在分类讨论时要注意“空集优先”的原则．

3．混淆命题的否定与否命题：

在求解命题的否定与否命题时，一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定，而否命题既对命题的条件进行否定，又对命题的结论进行否定

.

1．(文)(2024·全国卷Ⅰ，1)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( A ) A．{0,2} C．{0}

B．{1,2}

D．{－2，－1,0,1,2}

[解析] A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}． 故选A．

(理)(2024·全国卷Ⅰ，2)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?RA＝( B ) A．{x|－12} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

[解析] ∵ x2－x－2>0，∴ (x－2)(x＋1)>0，∴ x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．

由图可得?RA＝{x|－1≤x≤2}． 故选B．

2．(文)(2024·全国卷Ⅲ，1)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( C ) A．{0} C．{1,2}

B．{1} D．{0,1,2}

[解析] ∵ A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∴ A∩B＝{1,2}． 故选C．

(理)(2024·全国卷Ⅱ，2)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( A )

A．9 C．5

B．8 D．4

[解析] 将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．

故选A．

3．(文)(2024·天津卷，3)设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的( A ) A．充分而不必要条件 C．充要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

[解析] 由x3>8?x>2?|x|>2，反之不成立， 故“x3>8”是“|x|>2”的充分不必要条件． 故选A．

11

x－?<”是“x3<1”的( A ) (理)(2024·天津卷，4)设x∈R，则“??2?2A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

11?x－1?＜1”?“x3＜1”；3＜1，x－?＜”得0＜x＜1，[解析] 由“?则0

?2?2?2?2111111

x－?≥，即“x3＜1”/?“?x－?＜”．所以“?x－?＜”＜1”得x＜1，当x≤0时，??2?2?2?2?2?2是“x3＜1”的充分而不必要条件．

故选A．

4．(2024·浙江卷，6)已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m∥n”是“m∥α”的( A )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析] ∵ 若m?α，n?α，且m∥n，则一定有m∥α， 但若m?α，n?α，且m∥α，则m与n有可能异面， ∴ “m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件． 故选A．

5．(文)(2024·北京卷，4)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( B )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析] a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．

故选B．

(理)(2024·北京卷，6)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( C ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

[解析] 由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2， 即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b. 又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1， 所以a·b＝0，能推出a⊥b.

由a⊥b得|a－3b|＝10，|3a＋b|＝10， 能推出|a－3b|＝|3a＋b|，

所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件． 故选C．

6．(文)(2017·全国卷Ⅰ，1)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则( A )