§2.2 基本不等式与不等式的综合应用
基础篇固本夯基
【基础集训】
考点一 基本不等式及其应用 1.下列结论正确的是 ( ) A.当x>0且x≠1时,lg x+lg??≥2 B.当x∈(0,]时,sin x+
2π
4sin??1
的最小值为4
C.当x>0时,√??+??≥2
√1D.当0 ?? 1 答案 C 2.若正数m,n满足2m+n=1,则+的最小值为( ) ????11 A.3+2√2 B.3+√2 C.2+2√2 D.3 答案 A 3.已知正数x,y满足x+y=1,则??+1+??的最小值为( ) A.5 B.3 C.2 D.2 答案 C 4.设0 1 2??1-2??14 9 1 4 ≥k-2k恒成立,则k的取值范围为( ) 2 A.[-2,0)∪(0,4] B.[-4,0)∪(0,2] C.[-4,2] D.[-2,4] 答案 D 考点二 不等式的综合应用 2 5.已知关于x的不等式kx-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是( ) A.0≤k≤1 B.0 C.k<0或k>1 D.k≤0或k≥1 答案 A 2 6.已知函数f(x)=x+(2m-1)x+1-m,若对任意m∈[-1,0],都有f(x)>0成立,则实数x的取值范围为( ) A.(-1,2) B.(1,2) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞) 答案 D 7.已知a>b>0,则a+??(??-??)的最小值为 . 答案 32 2 8.已知函数f(x)=x+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是 . 答案 (-√2,0) 2 2 64 综合篇知能转换 【综合集训】 考法一 利用基本不等式求最值 1.(2024黑龙江七台河测试)已知m=8-n,m>0,n>0,则mn的最大值为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 答案 C 2.(2024新疆第一次毕业诊断,10)函数y=loga(x-1)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m>0,n>0,则??+??的最小值是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 C 3.(2024河南信阳一模,8)已知正项等比数列{an}满足:a2a8=16a5,a3+a5=20,若存在两项am,an,使得√????????=32,则 14????34 12 +的最小值为( ) 9 32 9 A. B. C. D. 10 5 答案 A 考法二 一元二次不等式恒成立问题的解法 4.(2024安徽安庆模拟,9)若不等式x+ax+1≥0对一切x∈(0,2]恒成立,则a的最小值是( ) A.0 B.-2 C.-2 D.-3 答案 C +22 5.(2024福建厦门3月联考,9)对任意m,n∈R,都有m-amn+2n≥0,则实数a的最大值为( ) A.√2 B.2√2 C.4 D.2 答案 B -??2+1,0≤x<1, 6.(2024山西太原一模,12)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),且当x≥0时, f(x)={ 2-2??,x≥1,若对任意的x∈[m,m+1],不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立,则实数m的最大值是( ) A.-1 B.-2 C.-3 D.3 答案 C 2 7.(2024江苏南京金陵中学月考,12)已知当0≤x≤2时,不等式-1≤tx-2x≤1恒成立,则t的取值范围是 . 答案 [1,4] 应用篇知行合一 【应用集训】 x 1.(2024广东汕头达濠华侨中学、东厦中学第三次联考,10)已知点A,B是函数y=2图象上的相异两点,若点A,B到直线y=2的距离相等,则点A,B的横坐标之和的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,-2) C.(-1,+∞) D.(-2,+∞) 答案 B 2.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 . 答案 30 15 1 1 19 5 2 1 3.(2014湖北,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F= 76 000????2+18v+20l . (1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为 辆/小时; (2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/小时. 答案 (1)1 900 (2)100 【五年高考】 考点一 基本不等式及其应用 1.(2024天津,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=5,则答案 4√3 2.(2024天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2+??的最小值为 . 8 a (??+1)(2??+1)√????的最小值为 . 1 答案 4 1 3.(2017天津,12,5分)若a,b∈R,ab>0,则答案 4 考点二 不等式的综合应用 ??4+4??4+1 ???? 的最小值为 . ??2-x+3,x≤1,?? 4.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)={设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,2 2??+??,x>1.则a的取值范围是( ) A.[-16,2] B.[-16,16] C.[-2√3,2] D.[-2√3,16] 答案 A 5.(2024北京,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%. ①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元; ②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 . 答案 ①130 ②15 教师专用题组 考点一 基本不等式及其应用 1.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是 . 答案 8 考点二 不等式的综合应用 -??2+2x,x≤0, 2.(2013课标Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)={若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( ) ln(??+1),??>0.A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 答案 D 【三年模拟】 39 47 47 39 一、单项选择题(每题5分,共40分) 1.(2024届山东师大附中第一次月考,12)下列不等式一定成立的是( ) A.lg(??2+4)>lg x(x>0) B.sin x+sin??≥2(x≠kπ,k∈Z) C.x+1≥2|x|(x∈R) D.答案 C 2.(2024届西南四省八校9月联考,12)若x>0,y>0,x+2y=1,则2??+??的最大值为( ) A.4 B.5 C.9 D.12 答案 C 3.(2024届山东青岛期初调研,8)函数f(x)=x+x+A.4+2√2 B.4√2 C.8 D.√2+2 答案 A 4.(2024福建厦门外国语中学模拟,10)已知实数a>0,b>0,??+1+??+1=1,则a+2b的最小值是( ) A.3√2 B.2√2 C.3 D.2 答案 B 5.(2024河北大名一中月考)已知关于x的不等式x-4ax+3a<0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+??( ) A. B. √63 2√3 3 2 2 2 2 11 1 ??2+1 >1(x∈R) ???? 1111 2??+4??2(x>0)的最小值为( ) 11 ?? 1??2 的最大值是 C. 4√3 3 D.- 4√3 3 答案 D 6.(2024新疆昌吉教育共同体联考,9)在1和17之间插入(n-2)个数,使这n个数成等差数列,若这(n-2)个数中第一个为a,第(n-2)个为b,当+取最小值时,n的值为( ) ????125 A.6 B.7 C.8 D.9 答案 D 7.(2024辽宁沈阳东北育才学校五模,9)已知函数f(x)=2??+1+x+sin x,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,则 11???? 2??-1 +的最小值是( ) 9 A.1 B.2 C.9 D.18 答案 A ** 8.(2024河北衡水金卷(一),12)已知数列{an}中,a1=2,n(an+1-an)=an+1,n∈N,若对于任意的a∈[-2,2],n∈N,不 ??+1 等式??+1<2t+at-1恒成立,则实数t的取值范围为( ) 2 ?? A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(-∞,-2]∪[1,+∞) C.(-∞,-1]∪[2,+∞) D.[-2,2] 答案 A 二、多项选择题(共5分) 9.(2024届山东烟台期中,11)下列结论正确的是( ) A.若a>b>0,c ???? ???? B.若x>y>0,且xy=1,则x+??>2??>log2(x+y) C.设{an}是等差数列,若a2>a1>0,则a2>√??1??3 D.若x∈[0,+∞),则ln(1+x)≥x-8x 答案 AC 三、填空题(每题5分,共15分) 10.(2024届上海复旦大学附中9月综合练,8)已知范围是 . 答案 [-3,1] 11.(2024福建三明第一中学期中,16)设a+2b=4,b>0,则答案 87 12|??| ??2+2a+2 ?? 1 2 1?? ≤ 4 ??2-x +1对于任意的x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值 +|??|?? 的最小值为 . 12.(2024安徽黄山八校联考,16)不等式(acosx-3)sin x≥-3对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 . 答案 [-2,12] 四、解答题(共45分) 13.(2024届黑龙江哈尔滨六中第一次调研,17)已知函数f(x)=2|x+1|-|x-a|(a∈R). (1)当a=2时,求不等式f(x)≤x+2的解集; (2)设函数g(x)=f(x)+3|x-a|,当a=1时,函数g(x)的最小值为t,且+=t(m>0,n>0),求m+n的最小值. ??2??2 1 3 2 ??≤-1, 解析 (1)当a=2时, f(x)=2|x+1|-|x-2|,∴2|x+1|-|x-2|≤x+2,可化为①{或 -2(??+1)+??-2≤??+2??≥2,-1 ②{或③{ 2(??+1)-(??-2)≤??+2,2(??+1)+??-2≤??+2??≤-1, 由①得{即-3≤x≤-1; ??≥-3,-1 由②得{即-1 ??≤1,??≥2, 由③得{此时无解. 2≤0, 综上可知,不等式的解集为[-3,1]. (2)当a=1时,g(x)=2|x+1|-|x-1|+3|x-1|=2(|x+1|+|x-1|)≥4,当且仅当-1≤x≤1时,取“=”,∴g(x)min=4,即t=4,由??+2??=4(m>0,n>0)可得2??+8??=1, ∴m+n=(m+n)·1=(m+n)(2??+8??)=2+8+2??+8??≥8+2√2??·8??=8+4=8,当且仅当2??=8??且??+2??=4,即m=4,n=8时,取“=”,∴(m+n)min=8. 14.(2024届福建泉州实验中学第一次月考,19)已知函数f(x)=9-m·3-4. (1)若m=1,求方程f(x)=0的根; (2)若对任意x∈[-1,1], f(x)≥-8恒成立,求m的取值范围. x x+1 2111 1111????5????529????2133 9
浙江专用2024届高考数学一轮复习专题二不等式2.2基本不等式与不等式的综合应用试题含解析
