第三章 3.2 第2课时
请同学们认真完成 [练案25]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．三次方程x＋x－2x－1＝0的根不可能所在的区间为( C ) A．(－2，－1) C．(0,1)
B．(－1,0) D．(1,2)
3
2
解析：∵f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，
f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，
∴三次方程x＋x－2x－1＝0的三个根分别在区间(－2，－1)、(－1,0)、(1,2)内，故选C．
2．若函数f(x)在[a，b]上连续，且同时满足f(a)f(b)<0，f(a)f(A．f(x)在[a，B．f(x)在[
3
2
a＋b2
)>0.则( B )
a＋b2
]上一定有零点
a＋b2
，b]上一定有零点 ]上一定无零点
C．f(x)在[a，D．f(x)在[解析：a<
a＋b2
a＋b2
，b]上一定无零点
a＋b2
2
?a＋b?f(b)<0，所以f(x)在?a＋b，b?上有零点． ??2??2??? 5 B．(，＋∞) 25 D．(1，) 2 3．若方程x－2mx＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于1，则m的取值范围是( B ) 5A．(－∞，) 25 C．(，3) 2 2 ??f解析：令f(x)＝x－2mx＋4，由题意可知? ??f??1－2m＋4<0， 即? ?4－4m＋4<0，? 1<0，2<0， 5??m>， 所以?2 ??m>2， 5 即m>. 2 4．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算， f(0.64)<0, f(0.72)>0, f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( C ) A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6 解析：已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)/2，且f(0.68)<0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值． 5．已知x1，x2是二次方程f(x)＝0的两个不同实根，x3，x4是二次方程g(x)＝0的两个不同实根，若g(x1)·g(x2)<0，则( D ) A．x1，x2介于x3和x4之间 B．x3，x4介于x1和x2之间 C．x1与x2相邻，x3与x4相邻 D．x1，x2与x3，x4相间排列 解析：因为g(x)＝0有两个不同实根x3，x4，又g(x1)g(x2)<0，则g(x)在x1和x2之间有且只有一个实根，则另一个实根不在x1和x2之间，所以x1，x2与x3，x4相间排列． 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则实数a，b，m， n的大小关系是__m＜a＜b＜n__. 解析：由题意知，f(x)的图像是开口向下的抛物线，f(a)＝f(b)＝1，f(m)＝f(n)＝0，如图所示． 所以m＜a＜b＜n. 7．二次函数y＝ax＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表，则使ax＋bx＋c>0成立的x的取值范围是__(－∞，－2)∪(3，＋∞). 2 2 x y －3 6 －2 0 －1 －4 0 －6 1 －6 2 －4 3 0 4 6 解析：由表中给出的数据可以得到f(－2)＝0，f(3)＝0，因此函数的两个零点是－2和3，这两个零点将x轴分成三个区间(－∞，－2)、(－2,3)、(3，＋∞)，在(－∞，－2)中取特殊值－3，由表中数据知f(－3)＝6>0，因此根据连续函数零点的性质知当x∈(－∞，－2)时都有f(x)>0，同理可得当x∈(3，＋∞)时也有f(x)>0，故使ax＋bx＋c>0的自变量x的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)． 8．若定义在[－1,1]上的函数f(x)＝3ax＋1－2a在(－1,1)上存在零点，则实数a的取 2 ?1?值范围为__(－∞，－1)∪?，＋∞?__. ?5?解析：由题意可知f(－1)·f(1)＜0， 即(－5a＋1)(a＋1)＜0， 1 解得a＜－1或a＞. 5 ?1?∴a∈(－∞，－1)∪?，＋∞?. ?5? 三、解答题(共20分) 9．(10分)求函数y＝x－2x－3x的零点，并作出它的图像． 解：∵x－2x－3x＝x(x－2x－3)＝x(x－3)(x＋1)， ∴函数的零点为－1,0,3.三个零点把x轴分成四个区间：(－∞，－1]，(－1,0]，(0,3]，(3，＋∞)，在这四个区间内，取x的一些值，列出这个函数的对应值表如下： 3 2 23 2 x y … … －2 －10 －1 0 1－ 27 80 0 1 －4 2 －6 3 0 4 20 … … 在直角坐标系内描点、连线，这个函数的图像如下图所示． 10．(10分)已知函数f(x)＝ax－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a的取值范围； 32 (2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根． 17解析：(1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，∴a≠0. 由题意得f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)<0， ??a－1<0即? ?a－2>0? 3 ??a－1>0 或? ?a－2<0? ， ∴1 (2)若a＝，则f(x)＝x－x＋， 1717171760284 ∴f(－1)＝>0, f(0)＝>0, f(1)＝－<0， 1717171 ∴函数零点在(0,1)，又f()＝0， 2 1 ∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为. 2 B级 素养提升 一、选择题(每小题5分，共10分) 1．已知函数f(x)在(1,2)内有1个零点，用二分法求零点的近似值时，若精度小于0.01，则至少计算中点函数值( B ) A．5次 C．7次 B．6次 D．8次 1 解析：设对区间(1,2)二等分n次，初始区间长度为1.第1次计算后区间长度为；第2 2111 次计算后区间长度为2；第3次计算后区间长度为3；……；第5次计算后区间长度为5＞0.02； 2221 第6次计算后区间长度为6＜0.02.故至少计算6次．故选B． 2 －2，x≤－2，??2 2．已知函数f(x)＝ax－x＋2，函数g(x)＝?x，－2＜x＜2， ??2，x≥2，恰好有2个不同的零点，则实数a的取值范围是( B ) A．(－∞，0) 若函数y＝f(x)－g(x) ?1?B．(－∞，0)∪?0，? ?2? D．(－∞，0)∪(1，＋∞) ?1?C．(－∞，0)∪?，1? ?3? 解析：依题意有f(x)的图像与g(x)的图像有2个不同的交点，且f(x)的图像过点(0,2)．当 a＝0时，f(x)＝2－x，此时g(x)的图像与f(x)的图像仅有1个交点，舍去． 当a＜0时，f(x)的图像是开口向下且过点(0,2)的抛物线，此时f(x)与g(x)的图像一定有2个不同的交点． 1 当a＞0时，f(x)的图像是开口向上且过点(0,2)，对称轴为直线x＝＞0的抛物线．当 2af(x)＝ax2－x＋2与g(x)＝x(－2＜x＜2)的图像有且只有一个交点时，可求得a＝.要使f(x) 1与g(x)有2个不同的交点，只需0＜a＜. 2 12 ?1?综上所述，a的取值范围为(－∞，0)∪?0，?. ?2? 二、多选题(每小题5分，共10分) 3．若函数f(x)的图像是连续的，且函数f(x)的唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)， ?1，3?，?5，3?内，则与f(0)符号不同的是( ABD ) ?2??42????? A．f(4) B．f(2) C．f(1) ?3?D．f?? ?2? ?5?E．f?? ?4? 解析：由二分法的步骤可知： ①零点在(0,4)内，则有f(0)·f(4)＜0，不妨设f(0)＞0，f(4)＜0，取中点2； ②零点在(0,2)内，则有f(0)·f(2)＜0，则f(0)＞0，f(2)＜0，取中点1； 3 ③零点在(1,2)内，则有f(1)·f(2)＜0，则f(1)＞0，f(2)＜0，取中点； 25?3??3??3?④零点在?1，?内，则有f(1)·f??＜0，则f(1)＞0，f??＜0，取中点； 4?2??2??2? ?53??5??3??5??3?⑤零点在?，?内，则有f??·f??＜0，则f??＞0，f??＜0. ?42??4??2??4??2??3?所以与f(0)符号不同的是f(4)，f(2)，f??，故选ABD． ?2? 4．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出如下命题，其中正确的是( ABC ) A．c＝0时，y＝f(x)是奇函数 B．b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实数根 C．y＝f(x)的图像关于点(0，c)对称 D．方程f(x)＝0最多有两个实根 解析：当c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，此时f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，A正确；当b＝0，c＞0时，f(x)＝x|x|＋c，若x≥0，f(x)＝0无解，若x＜0，f(x)＝0有一解x＝－ c，B正确，结合图像(如图)知C正确，D不正确．故选ABC． 三、填空题(每小题5分，共10分) 5．给出以下结论，其中正确结论的序号是__②③__. ①函数图像通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； ③函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上一定有实根； ④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效． 解析：零点有变号零点与不变号零点，故①不对；“二分法”针对的是连续不断的函数的变号零点，故④不对．据零点的性质知②③都正确． ?x＋bx＋c ? 6．设函数f(x)＝? ??2 2 x≤0x>0 ，
2024学年新教材高中数学第三章函数3.2第2课时零点的存在性及其近似值的求法课时作业含解析人教B版必修一
