“12＋4”专项练5
1.已知全集U＝R，N＝{x|x(x＋3)<0}，M＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合是()
A.{x|－3 2.若复数z满足(1－2i)z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z等于() 34343434A.－－iB.＋iC.－＋iD.－i 55555555答案C 3.命题：“?x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是() A.不存在x∈R，x2＋x＋1>0 B.?x0∈R，x20＋x0＋1>0 C.?x0∈R，x20＋x0＋1≤0 D.?x∈R，x2＋x＋1≤0 答案C 4.已知p：α为第二象限的角，q：sinα>cosα，则p是q的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案A 5.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝12，则S13等于() A.52B.54C.56D.58 答案A 解析若a3＋a7＋a11＝12，则有3a7＝12， 13?a1＋a13?∴a7＝4，∴S13＝＝13a7＝52. 2 ππ 6.已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)图象的一个对称中心为(2，0)，直线x＝x1，x 22＝x2是图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为3，且f(1)>f(3)，要得到函数f(x)的图象可将函数y＝2cosωx的图象() 1π A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度 26 1π C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度 26答案A 2ππ 解析由两条对称轴的距离|x1－x2|的最小值为3，可得T＝6，∴6＝，ω＝，又函数f(x)＝ ω32ππ 2cos(ωx＋φ)图象的一个对称中心为(2，0)，则＋φ＝kπ＋，k∈Z， 32 πππππ ∵－<φ<，∴φ＝－，f(x)＝2cos(x－)，满足f(1)>f(3)，故可将函数y＝2cosωx的图象向右 226361 平移个单位长度得到函数f(x)的图象，故选A. 2 7.在正方体ABCD—A1B1C1D1上有一只蚂蚁，从A点出发沿正方体的棱前进，要它走过的第n＋2条棱与第n条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第2016条棱之后的位置是在() A.点A1处B.点A处C.点D处D.点B处 答案B 解析走过的棱可依次为AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A，因此走过6条棱后回到起点，所以周期为6， 因为2016÷6＝336，所以又回到起点A. 8.如图是一个几何体的三视图，正(主)视图是一个等腰直角三角形，且斜边BD长为2，侧(左)视图为一个直角三角形，俯视图是一个直角梯形，且AB＝BC＝1，则此几何体的表面积是() 135＋35＋3A.B.CD.＋2 2222答案D 解析几何体为一个四棱锥，高为1，底面为直角梯形，上、下底为1和2，高为1，因此几何体四个侧面中有两个全等的直角三角形，直角边分别为1，2，一个底边长为2的等腰直11 角三角形，还有一个边长为2的等边三角形，因此表面积为×(1＋2)×1＋2××1×2＋ 22 5＋3321×(2)＋×1×2＝＋2，故选D. 422 9.已知一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为() 43ππA.B.C.D. 55603答案A 解析由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公244 式可得所求概率为＝. 305 10.(2016·课标全国乙)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为() A. 3231 B.C.D. 2233 答案A 解析如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，∵α∥平面CB1D1，则m1∥m，又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n. 故m、n所成角的大小与B1D1、CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小. π3 而B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，因此∠CD1B1＝，得sin∠CD1B1＝，故选A. 3211.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数() A.y＝x＋1的图象上B.y＝2x的图象上C.y＝2x的图象上D.y＝2x答案D 解析由题可知，输入x＝1，y＝1，由于1≤4，输出点(1，1)，进入循环，x＝1＋1＝2，y＝2×1＝2，由于2≤4，输出点(2，2)，进入循环，x＝2＋1＝3，y＝2×2＝4，由于3≤4，输出点(3，4)，进入循环，x＝3＋1＝4，y＝2×4＝8，由于4≤4，输出点(4，8)，进入循环，x＝4＋1＝5>4，循环结束；故点(2，2)，点(3，4)，点(4，8)均满足在函数y＝2x－1的图象上. 12.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有两个极值点x1，x2，若点P(x1，f(x1))为坐标原点，点Q(x2，f(x2))在圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上运动时，则函数f(x)图象的切线斜率的最大值为() A.3＋2B.2＋3C.2＋2D.3＋3 答案D 解析因为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d， 所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， 又因为点P(x1，f(x1))为坐标原点， 所以f(0)＝0，f′(0)＝0，c＝0，d＝0， 令f′(x)＝0，即f′(x)＝3ax2＋2bx＝0， 2b解得x1＝0，x2＝－， 3a 2b32b24b3 f(x2)＝a(－)＋b(－)＝， 3a3a27a2又点Q(x2，f(x2))在圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上运动， b23y2y2所以a<0，k＝f′(x)＝3ax＋2bx≤－＝·，表示圆上动点与原点连线的斜率， 3a2x2x2 2 －1 的图象上 y223 由几何意义可求得的最大值为2＋， x23 因此k的最大值为3＋3，故选D. ^ 7 13.已知x，y的取值如表所示：若y与x呈线性相关，且线性回归方程为y＝bx＋，则b＝ 2 ^ ^ ________. x y 2 5 3 4 4 6 1答案 2 解析x＝3，y＝5， 7 ∴5＝b×3＋， 21∴b＝. 2 11 14.如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间(，)内，那么输入实数x的取值范围是 93________. ^ ^ 答案(1，2) x??3，－1≤x≤1， 解析模拟执行程序框图，可得其功能为计算并输出分段函数f(x)＝?的值， x－?3，x<－1或x>1? 11 如果输出的函数值在区间(，)内，即y∈(3－2，3－1)，从而解得x∈(1，2)，故答案为(1，2). 9315.数列1，2，3，4，5，6，…，n，…是一个首项为1，公差为1的等差数列，其通项公式?1＋n?n an＝n，前n项和Sn＝.若将该数列排成如下的三角形数阵的形式 21 23 456 78910 1112131415 …………………… 根据以上排列规律，数阵中的第n行(n≥3)的第3个(从左至右)数是________. n2－n＋6答案 2 n?n－1?n2－n＋6 解析由题意知该三角形数阵的每一行的第一个数为＋1，所以第三个数为. 2216.(2016·课标全国乙)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________. 答案4π 解析圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，C到直线y＝x|0－a＋2a||a|23?2?|a|?22 ＋2a的距离为d＝＝.又由|AB|＝23，得?＋＝a＋2，解得a2＝2， ?2??2?22所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π. 2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟 数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（ ） A．球 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（ ） A． B． C． D． 4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（ ） A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8 6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20 7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面但不垂直 D．异面且垂直 8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（ ） A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x≥2或x≤﹣1} D．{x|x＞2或x＜﹣1} 9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（ ） A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10 10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两 端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（ ） A． km B． km C．1.5km D．2km 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．计算：log21+log24=． 12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=． 13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是． 14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为? 15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为． 三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤． 16．已知值． 17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清． （1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数； （2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？ ， ＜θ＜π．（1） 求tanθ；（2） 求 的 18．已知等比数列{an}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列． （1）求a1及an； （2）设bn=an+n，求数列{bn}的前5项和S5． 19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5 （1）求函数f（x）解析式 （2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值． 20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0． （1）求圆的圆心C的坐标和半径长； （2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证： 为定值； （3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大． 2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一 次模拟数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（A．3 B．2 C．1 D．0 【考点】并集及其运算． 【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可． 【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}， ∴x=3， 故选：A． 2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（ ） A．球 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图可知该几何体为圆锥． 【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥． 故选D． ） 3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（ ） A． B． C． D． 【考点】几何概型． 【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求． 【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可， 由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为故选B． ； 4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】程序框图． 【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案． 【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下； 输入x=1， y=1﹣1+3=3， 输出y的值为3． 故选：B． 5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（ ） A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可． 【解答】解：∵∥， ∴4﹣2x=0，得x=2， 故选：B 6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20 【考点】分层抽样方法． 【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论． 【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800． ∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈， 则高一、高二、高三年级抽取的人数分别高二： 高三：45﹣15﹣10=20． 故选：D ， ， 7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面但不垂直 D．异面且垂直 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论． 【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面， 连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD， ∴直线BD与A1C1垂直， ∴直线BD与A1C1异面且垂直， 故选：D． 8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（ ） A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x≥2或x≤﹣1} D．{x|x＞2或x＜﹣1} 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集． 【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2， 所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}． 故选：A． 9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（ ） A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10 【考点】圆的标准方程． 【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可． 【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1） 半径r= = = ∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5． 故选：C． 10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（ ） A． km B． km C．1.5km D．2km 【考点】解三角形的实际应用． 【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值． 【解答】解：根据余弦定理 AB2=a2+b2﹣2abcosC， ∴AB=故选：A． ==（km）． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．计算：log21+log24= 2 ． 【考点】对数的运算性质． 【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可． 【解答】解：log21+log24=0+log222=2． 故答案为：2． 12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3 ． 【考点】等比数列． 【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x． 【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9， 解得x=±3． 故答案为：±3． 13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是 5 ． 【考点】简单线性规划． 【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可． 【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z， 当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5； 故答案为：5． 14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为 4 ? 【考点】函数的零点． 【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值． 【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点， ∴f（a）=2﹣log2a=0， ∴log2a=2， 解得a=4． 故答案为：4． 15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为 45°． 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论． 【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角， ∵AE=EF，∴∠AFE=45°． 故答案为45°． 三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知值． 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】（1）由本关系 ，可求 ＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基 ， ＜θ＜π．（1） 求tanθ；（2） 求 的 （2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求． 【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=又∴（2） ． ＜θ＜π，∴cosθ= ． =． 17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清． （1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数； （2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？ 【考点】频率分布直方图． 【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数； （2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元． 【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1， 解得a=0.15， 众数为：； （2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有： ×2=200， 18．已知等比数列{an}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列． （1）求a1及an； （2）设bn=an+n，求数列{bn}的前5项和S5． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式； （2）求得bn=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和． 【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1， 又a2，a3+1，a4成等差数列，可得： 2（a3+1）=a2+a4， 所以2（4a1+1）=2a1+8a1， 解得a1=1， 故an=a1qn﹣1=2n﹣1； （2）因为bn=2n﹣1+n， 所以S5=b1+b2+b3+b4+b5 =（1+2+…+16）+（1+2+…+5） = +=31+15=46． 19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5 （1）求函数f（x）解析式 （2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值． 【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值． 【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可． （2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可． 【解答】解：（1）∵ ； （2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1， ∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14． 20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0． （1）求圆的圆心C的坐标和半径长； （2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证： 为定值； （3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大． 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径； （2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出 的值； （3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程； 解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程． 【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4， 则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2； （2）设直线l的方程为y=kx， 联立方程组 ， 消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0， 则有： ； 所以为定值； ， （3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离所以 ， ≤ 当且仅当从而 ，即 ， 时，△CDE的面积最大， ，解之得b=3或b=﹣1， 故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0． 解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2， 所以 ≤2， ； ， 当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离由由 ，得 ，得b=3或b=﹣1， ， 故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0． 2017年5月5日
高考数学(全国乙卷(理科)考前抢分必做：“12+4”专项练5 Word版含答案
