课题：§4.1.1利用函数性质判定方程解的存在
【学习目标】
1、理解函数零点的概念，函数零点与相应方程根的关系； 2、掌握零点存在的判定条件。 3、【重点】掌握函数零点的判定方法 4、【难点】探究发现函数零点的存在性
一、自学提纲
问题1 判断方2x?1?0.程根，作出函图象与问题中方程的根有什么联系？
y?2x?1数 的图像，并思考函数
2问题2 判断方程x?2x?3?0根的个数，作出函数y?x?2x?3的图像，并思考函数
2图象与问题中方程的根有什么联系？
结论：
1、函数零点：函数的图像与 称为这个函数的零点
注意：零点指的是一个实数，不是一个点。
二、探究、合作、展示
探究1 求函数f(x)?lg(x?1)的零点．
变式练习：求下列函数的零点．
（1）f(x)?x?5x?6 （2）f(x)?2?1
解题小结 函数零点的求解方法：
________________________________________________________________ __________________________________________________________________
2x问题3：函数满足什么条件，在区间?a,b?上一定有零点？ 探究2
观察0.5附近的函数值变化情况 观察-1附近的函数值变化情况
y
x
探究3观察函数y?f(x)的图象
y （1）f(a)?f(b)__0(?或?) 在区间[a,b]上___(有/无)零点；（2）f(b)?f(c)__0(?或?)
a 0 b c d x 在区间[b,c]上___(有/无)零点；（3）f(c)?f(d)___0(?或?)在区间?c,d?上__（有/无）零点； 探究4
若函数y?f(x)在区间[a,b]上有定义，而且满足f?a??f?b??0,则函数y?f?x?在区间?a,b?内一定存在零点吗？y y 0 a y bx 0 a
bx
0 a bx
2、函数零点存在性定理
若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点。
练习：判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ）
（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且f(a)·f(b)≥0则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ）
（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且在区间(a,b)内存在零点，则f(x)必满足f(a)·f(b)< 0. （ ）
（4）（4）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续的单调函数且满足f (a)·f(b)<0，则函数y=f(x)区间(a,b)上有且仅有一个零点。 （ ）
x2f(x)?3?x例 已知函数。问：方程f(x)?0在区间??1,0?内有没有实数解？为什么？
三、当堂检测
1、已知函数f?x?的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 136.136 2 15.552 3 -3.92 4 5 6 -232.064 f?x?10.88 -52.488
请写出3个一定存在零点的区间 。 2、能确定在区间?0,1?上有零点的函数是（ ）． A．f?x??x?1 B．f?x??x?2x?3
23C．f?x??x?2x?2 D．f?x??x?2x?3
32 3、函数y?f?x?在定义域内满足f?a??f?b??0?a,b?R,a?b?，则函数f?x?在
?a,b?内（ ）
A．只有一个零点 B．至少有一个零点 C．无零点 D．无法确定有无零点
四、课堂小结
（1）一个关系：函数零点与方程根的关系：
函数 方程 数 值 零点 存在性 个 数 根 （2）两种思想：函数方程思想；数形结合思想．
（3）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间．
五、作业布置
课本P119A组1题 课本P116练习3
思考题：方程2-x =x在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节．
北师大版高中数学必修一：4.1.1 利用函数性质判断方程解的存在 19号导学案
