明，并且比小明多跑了20圈”，知经过分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑了1圈，
得到等量关系：哥哥所跑路程﹣小明所跑路程＝环形跑道的周长，据此列出方程组，求出问题的解．
（2）由（1）中求出的哥哥的速度与小明的速度的比为2：1，可知在时间相同时，他们所行的路程比也为2：1．如果设小明跑了x圈，那么哥哥跑了2x圈．根据哥哥比小明多跑了20圈列式解答即可．
【解答】解：设哥哥的速度是V1米/秒，小明的速度是V2米/秒．环形跑道的周长为s米．
（1）由题意，有，
整理得，4v2＝2v1， 所以，V1＝2V2．
答：哥哥速度是小明速度的2倍．
（2）设小明跑了x圈，那么哥哥跑了2x圈． 根据题意，得2x﹣x＝20， 解得，x＝20．
故经过了25分钟小明跑了20圈．
【点评】本题考查分式方程、一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题要注意追及问题和相遇问题不同的求解方法及时间相同，路程比等于速度比．
23．（15分）满足1+3n≤2007，且使得1+5n是完全平方数的正整数n共有多少个？ 【分析】首先求出n的取值范围，然后设1+5n＝m（m是正整数），则正整数，然后对m﹣1和m+1进行讨论确定n的值． 【解答】解：由条件1+3n≤2007得，n≤668，n是正整数． 设1+5n＝m（m是正整数），则
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，这是
，这是正整数．
故可设m+1＝5k，或m﹣1＝5k（k是正整数） ①当m+1＝5k时，
当k＝12时，5k﹣2k＝696＞668．
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，由5k≤668，得，k≤11
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所以，此时有11个满足题意的正整数n使1+5n是完全平方数； ②当m﹣1＝5k时，
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，
又5k﹣2k＜5k+2k，且当k＝11时5k+2k＝627＜668， 所以，此时有11个满足题意的正整数n使1+5n是完全平方数． 因此，满足1+3n≤2007且使1+5n使完全平方数的正整数n共有22个．
【点评】本题主要考查完全平方数的知识点，解答本题的关键是对m﹣1和m+1进行讨论确定k的取值范围，本题难度较大．
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2007年第18届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）
