专题10.1圆的方程（精讲精析篇）
提纲挈领
点点突破
热门考点01 圆的方程
1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． 2．圆的标准方程
(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：(x?a)2?(y?b)2?r2． (2) 方程(x?a)2?(y?b)2?r2表示圆心为C(a,b),半径为r的圆． 3．圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为：x2?y2?Dx?Ey?F?0.这个方程就叫做圆的一般方程． (2) 对方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0. ①若D2?E2?4F?0，则方程表示以(?D2，?E2)为圆心,12D2?E2?4F为半径的圆； ②若D2?E2?4F?0，则方程只表示一个点(?D2，?E2)； ③若D2?E2?4F?0，则方程不表示任何图形． 4.点A(x0，y0)与⊙C的位置关系
(1)|AC| 1 222(3)|AC|>r?点A在圆外?(x0－a)＋(y0－b)?r. 【典例1】（2024·天津高考真题（文））在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 【典例2】（2013·江西高考真题（文））若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是_________. 【典例3】（2024·云南高三月考（文））古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0）， B（3，0），动点M满足 A．（x﹣5）2+y2＝16 C．（x+5）2+y2＝16 【总结提升】 ｜MA｜＝2，则动点M的轨迹方程为（ ） ｜MB｜B．x2+（y﹣5）2＝9 D．x2+（y+5）2＝9 1.求圆的方程，主要有两种方法： (1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． (2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 2.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标?x,y?，根据题意列出关于x,y的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把x,y分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将{x0?g?x?y0?h?x?代入f?x0,y0??0.本题就是利用方法④求M的轨迹方程的. 热门考点02 圆的方程综合应用 1. 圆的标准方程为：(x?a)?(y?b)?r 222．圆的一般方程．：x?y?Dx?Ey?F?0（D?E?4F?0）. 222223.点P0(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0的距离：d?Ax0?By0?CA?B22. 2 【典例4】（2016高考天津文）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,5)在圆C上，且圆心到直线 2x?y?0的距离为45，则圆C的方程为__________. 5【典例5】（2024·天津南开中学高考模拟）已知直线ax?by?6?0?a?0,b?0?被圆 x2?y2?2x?4y?0截得的弦长为25，则ab的最大值为________. 【典例6】设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线 l:x?2y?0的距离为 【总结提升】 5，求该圆的方程． 5注意应用圆的几何性质： ① 心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的垂直平分线上． 热门考点03 直线与圆相切 1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点； 2.圆的切线方程的两种求法 (1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. (2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令 d＝r，进而求出k. 【典例7】（2024·浙江高考真题）已知圆C的圆心坐标是(0,m)，半径长是r.若直线2x?y?3?0与圆相切于点A(?2,?1)，则m?_____，r?______. 【典例8】（2015·江苏高考真题）在平面直角坐标系 中，以点 为圆心且与直线 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【总结提升】 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：几何法：圆心到直线的距离等于半径，即d?r； (2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．??0，方程组有一组不同的解. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 提醒：上述方法中最常用的是几何法． 3 热门考点04 直线与圆相交及弦长 1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点； 2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即d?r； 3.代数法：??0，方程组有两组不同的解. B两点，则【典例9】（2024·全国高考真题（文））直线y?x?1与圆x?y?2y?3?0交于A，22AB?________． 【典例10】（2016·全国高考真题（理））已知直线：点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若 ，则 与圆__________． 交于，两 【典例11】（2024·江苏高三）已知圆O：x2＋y2＝4和圆O外一点P(x0，y0)，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且∠AOB＝120°．若点C(8，0)和点P满足PO＝?PC，则?的范围是_______． 【总结提升】 1.弦长的两种求法 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长． (2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r－d. 2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决． 2 2 热门考点05 圆与圆的位置关系 设两圆的圆心分别为C1、C2，圆心距为d?C1C2，半径分别为R、r(R?r). (1)两圆相离：无公共点；d?R?r，方程组无解. (2)两圆外切：有一个公共点；d?R?r，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；R?r?d?R?r，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；d?R?r，方程组有一组不同的解. (5)两圆内含：无公共点；0?d?R?r，方程组无解.特别地，d?0时，为两个同心圆. 【典例12】（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2?y2?8x?15?0，若直线y?kx?2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为__________． 【典例13】（2024·天津耀华中学高三月考）已知圆x?y?12与圆x2?y2?x?3y?6?0交于A，B 22 4 两点，过A，B分别作直线AB的垂线，与x轴分别交于C，D两点，则CD?__________. 【总结提升】 1.判断两圆位置关系的方法 常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法． 2．两圆公共弦长的求法 两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题． 3.比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系； 4.两圆方程相减即得公共弦方程； 5.公共弦长要通过解直角三角形获得． 热门考点06 直线、圆的位置关系的综合应用 【典例14】（2024·全国高考真题（文））直线x?y?2?0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆 ?x?2?2?y2?2上，则△ABP面积的取值范围是（ ） 8? B．?4，32?C．??2，? 32?D．??22，? A．?2，6? 【典例15】（2024·江苏高三开学考试（文））在平面直角坐标系xOy中，己知圆 C:x2?y2?2x?4y?F?0，且圆C被直线x?y?3?2?0截得的弦长为2. （1）求圆C的标准方程； （2）若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，求切线l的方程； （3）若圆D:(x?a)?(y?1)?2上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足 22PM?2PO，求实数a的取值范围. 【总结提升】 直线与圆的位置关系常用处理方法： （1）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系； （2）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （3）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小． 巩固提升 1.（重庆高考真题（文））圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为（ ） 5
新高考高中数学核心知识点全透视专题10.1 圆的方程(精讲精析篇)
