第一章 集合与常用逻辑用语
知识点 最新考纲 了解集合、元素的含义及其关系. 理解集合的表示法. 集 合 了解集合之间的包含、相等关系. 理解全集、空集、子集的含义. 会求简单集合间的并集、交集. 理解补集的含义并会求补集. 了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义,及命题及其关系、充分条件与必要条件 其相互之间的关系. 理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义,能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件. 第1讲 集合及其运算
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 符号 自然数集 N 正整数集 N(或N+) *整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 2.集合间的基本关系 表示 关系 子集 基本关系 相等 真子集 文字语言 集合A的所有元素都是集合B的元素 集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不属于A 集合A,B的元素完全符号语言 记法 x∈A? x∈B A?B,且存在x0∈B,x0?A A?B, A?B或 B?A A或BB A A=B 1
相同 不含任何元素的集空集 合.空集是任何集合B?A 任意x,x??,??A ? A的子集 3.集合的基本运算 图形 语言 符号 语言 集合的并集 集合的交集 集合的补集 A∪B= {x|x∈A,或x∈B} A∩B= {x|x∈A,且x∈B} ?UA= {x|x∈U,且x?A} 4.集合的运算性质 (1)并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;
A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A.
(2)交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;
A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B.
(3)补集的性质:A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?. (4)?U(?UA)=A;?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB); ?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1){x|y=x+1}={y|y=x+1}={(x,y)|y=x+1}.( ) (2)若{x,1}={0,1},则x=0,1.( ) (3){x|x≤1}={t|t≤1}.( )
(4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)?(A∪B)恒成立. ( ) (5)若A∩B=A∩C,则B=C.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× [教材衍化]
1.(必修1P12A组T3改编)若集合P={x∈N|x≤2 021},a=22,则( ) A.a∈P B.{a}∈P C.{a}?P D.a?P
解析:选D.因为a=22不是自然数,而集合P是不大于2 021的自然数构成的集合,所以a?P.故选D.
2.(必修1P11例9改编)已知U={α|0°<α<180°},A={x|x是锐角},B={x|x是
2
2
2
2
2
钝角},则?U(A∪B)=________.
答案:{x|x是直角}
3.(必修1P44A组T5改编)已知集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为________.
解析:集合A表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆,集合B表示直线y=x,圆x+y=1与直线y=x相交于
两点?
2??22??2
,?,?-,-?,则A∩B中有两个元素. 2??22??2
2
2
2
2
答案:2 [易错纠偏]
(1)忽视集合中元素的互异性致误; (2)忽视空集的情况致误; (3)忽视区间端点值致误.
1.已知集合A={1,3,m},B={1,m},若B?A,则m=________.
解析:因为B?A,所以m=3或m=m,即m=3或m=0或m=1,根据集合元素的互异性可知,m≠1,所以m=0或3.
答案:0或3
2.已知集合M={x|x-2=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是________. 1
解析:易得M={2}.因为M∩N=N,所以N?M,所以N=?或N=M,所以a=0或a=.
21
答案:0或
2
3.已知集合A={x|x-4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B=________,A∪B=________,(?RA)∪B=________.
解析:由已知得A={x|1<x<3},B={x|2<x<4},所以A∩B={x|2<x<3},A∪B={x|1<x<4},
(?RA)∪B={x|x≤1或x>2}.
答案:(2,3) (1,4) (-∞,1]∪(2,+∞)
集合的含义
(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={(x,y)|x≥y,x∈A,y∈A}中元素的个
数是( )
A.1
2
B.3
3
C.6
2
D.9
(2)若集合A={x∈R|ax-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( ) 9A. 2C.0
??
9B. 89
D.0或
8
(3)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0,,b?,则b-a=________.
?
ba?
【解析】 (1)当x=0时,y=0;当x=1时,y=0或y=1;当x=2时,y=0,1,2. 故集合B={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)}, 即集合B中有6个元素. (2)当a=0时,显然成立; 当a≠0时,Δ=(-3)-8a=0, 9即a=.
8
?b??(3)因为{1,a+b,a}=0,,b?,a≠0,
a??
2
所以a+b=0,则=-1, 所以a=-1,b=1. 所以b-a=2.
【答案】 (1)C (2)D (3)2
与集合中的元素有关问题的求解步骤
ba
1.(2020·温州八校联考)已知集合M={1,m+2,m+4},且5∈M,则m的值为( ) A.1或-1 C.-1或3
2
2
B.1或3 D.1,-1或3
2
解析:选B.因为5∈{1,m+2,m+4},所以m+2=5或m+4=5,即m=3或m=±1.当m=3时,M={1,5,13};当m=1时,M={1,3,5};当m=-1时,不满足互异性.所以m的值为3或1.
4
浙江专用2021版新高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合及其运算教学案
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