第一章 集合与常用逻辑用语
知识点 最新考纲 了解集合、元素的含义及其关系． 理解集合的表示法． 集 合 了解集合之间的包含、相等关系． 理解全集、空集、子集的含义． 会求简单集合间的并集、交集． 理解补集的含义并会求补集. 了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及命题及其关系、充分条件与必要条件 其相互之间的关系． 理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件. 第1讲 集合及其运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 符号 自然数集 N 正整数集 N(或N＋) *整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 2.集合间的基本关系 表示 关系 子集 基本关系 相等 真子集 文字语言 集合A的所有元素都是集合B的元素 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 集合A，B的元素完全符号语言 记法 x∈A? x∈B A?B，且存在x0∈B，x0?A A?B， A?B或 B?A A或BB A A＝B 1
相同 不含任何元素的集空集 合．空集是任何集合B?A 任意x，x??，??A ? A的子集 3.集合的基本运算 图形 语言 符号 语言 集合的并集 集合的交集 集合的补集 A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} A∩B＝ {x|x∈A，且x∈B} ?UA＝ {x|x∈U，且x?A} 4.集合的运算性质 (1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；
A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.
(2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；
A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.
(3)补集的性质：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?． (4)?U(?UA)＝A；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)； ?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1){x|y＝x＋1}＝{y|y＝x＋1}＝{(x，y)|y＝x＋1}．( ) (2)若{x，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( ) (3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立． ( ) (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× [教材衍化]
1．(必修1P12A组T3改编)若集合P＝{x∈N|x≤2 021}，a＝22，则( ) A．a∈P B．{a}∈P C．{a}?P D．a?P
解析：选D.因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于2 021的自然数构成的集合，所以a?P.故选D.
2．(必修1P11例9改编)已知U＝{α|0°<α<180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是
2
2
2
2
2
钝角}，则?U(A∪B)＝________．
答案：{x|x是直角}
3．(必修1P44A组T5改编)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．
解析：集合A表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线y＝x，圆x＋y＝1与直线y＝x相交于
两点?
2??22??2
，?，?－，－?，则A∩B中有两个元素． 2??22??2
2
2
2
2
答案：2 [易错纠偏]
(1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．
1．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，若B?A，则m＝________．
解析：因为B?A，所以m＝3或m＝m，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3.
答案：0或3
2．已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________． 1
解析：易得M＝{2}．因为M∩N＝N，所以N?M，所以N＝?或N＝M，所以a＝0或a＝.
21
答案：0或
2
3．已知集合A＝{x|x－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(?RA)∪B＝________．
解析：由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，
(?RA)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．
答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)
集合的含义
(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个
数是( )
A．1
2
B．3
3
C．6
2
D．9
(2)若集合A＝{x∈R|ax－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( ) 9A． 2C．0
??
9B． 89
D．0或
8
(3)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝?0，，b?，则b－a＝________．
?
ba?
【解析】 (1)当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2. 故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}， 即集合B中有6个元素． (2)当a＝0时，显然成立； 当a≠0时，Δ＝(－3)－8a＝0， 9即a＝.
8
?b??(3)因为{1，a＋b，a}＝0，，b?，a≠0，
a??
2
所以a＋b＝0，则＝－1， 所以a＝－1，b＝1. 所以b－a＝2.
【答案】 (1)C (2)D (3)2
与集合中的元素有关问题的求解步骤
ba
1．(2020·温州八校联考)已知集合M＝{1，m＋2，m＋4}，且5∈M，则m的值为( ) A．1或－1 C．－1或3
2
2
B．1或3 D．1，－1或3
2
解析：选B.因为5∈{1，m＋2，m＋4}，所以m＋2＝5或m＋4＝5，即m＝3或m＝±1.当m＝3时，M＝{1，5，13}；当m＝1时，M＝{1，3，5}；当m＝－1时，不满足互异性．所以m的值为3或1.
4
浙江专用2021版新高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合及其运算教学案
