高中数学导数题型分析及解题方法
x 22（－，－3） －3 0 极大值 2（－3，1） － 1 （1，＋） f＋ （x） f（x） 0 极小值 ＋ 22所以函数f（x）的递增区间是（－，－3）与（1，＋），递减区间是（－3，1） 1（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x
222〔－1，2〕，当x＝－3时，f（x）＝27＋c
－1或c
2
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c
题型六：利用导数研究方程的根
31vv1．已知平面向量a=(3,－1). b=(2,2).
vvvvvuvvvu（1）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，
试求函数关系式k=f(t) ；
(2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.
vvuvvuvvvvyx?y解：(1)∵x⊥，∴=0 即[a+(t2-3) b]·(-ka+tb)=0. v2v2vv整理后得-ka+[t-k(t2-3)] a?b+ (t2-3)·b=0
1v2v2vv∵a?b=0，a=4，b=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)
11(2)讨论方程4t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 4t(t2-3)与直线y=k的交点个
数.
33于是f′(t)= 4(t2-1)= 4(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表： t f′(t) F(t) (-∞,-1) + ↗ -1 0 极大值 (-1,1) - ↘ 1 0 极小值 (1,+ ∞) + ↗ 1当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.
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1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－2 1函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，
可观察出：
11(1)当k＞2或k＜－2时,方程f(t)－k=0有且只有一解； 11(2)当k=2或k=－2时,方程f(t)－k=0有两解； 11(3) 当－2＜k＜2时,方程f(t)－k=0有三解.
题型七：导数与不等式的综合
3a?0,函数f(x)?x?ax在[1,??)上是单调函数. 1．设
（1）求实数a的取值范围； （2）设
x0f(f(x0))?x0f(x0)?x0≥1，f(x)≥1，且，求证：.
22???y?f(x)?3x?a,y?0,即a?3x,这??1,??f(x)解：（1） 若在上是单调递减函数，则须
样的实数a不存在.故f(x)在?1,???上不可能是单调递减函数.
2若f(x)在?1,???上是单调递增函数，则a≤3x， 2??x?1,??,故3x?3.从而0 x?f(x0)（2）方法1、可知f(x)在?1,???上只能为单调增函数. 若1≤0，则f(x0)?f(f(x0))?x0矛盾,只有 若1≤ f(x0)?x0,则f(f(x0))?f(x0),即x0?f(x0)矛盾，故 f(x0)?x0成立. 方法2：设 f(x0)?u,则f(u)?x0 ， 3?x0?ax0?u,u3?au?x0,两式相减得 32(x0?u3)?a(x0?u)?u?x0?(x0?u)(x0?x0u?u2?1?a)?0,?x022?x0?x0u?u2?3,又0?a?3?x0?x0u?u2?1?a?0≥1,u≥1， ， 7 / 10 高中数学导数题型分析及解题方法 3f(x)?(x2?)(x?a)22．已知a为实数，函数 （1）若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围 （2）若f'(?1)?0，（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间 （Ⅱ）证明对任意的 x1、x2?(?1,0)，不等式 |f(x1)?f(x2)|?516恒成立 Qf(x)?x3?ax2?解： 333x?a?f'(x)?3x2?2ax?22，2 Q 函数f(x)的图象有与x轴平行的切线，?f'(x)?0有实数解 3933???4a2?4?3??0a2?（??，?2]U[2，??）22，所以a的取值范围是22 ， ?3?2a?39931?0a??f'(x)?3x2?x??3(x?)(x?1)24，222， 11f'(x)?0,?1?x??2；由2 Qf'(?1)?0， 由f'(x)?0,x??1或 x??11(??,?1),(?,??)(?1,?)?f(x)的单调递增区间是22 ；单调减区间为 f(?1)?2514927f(?)?f(0)?8，f(x)的极小值为216，又8 2749m?8，最小值16 27495??81616 易知f(x)的最大值为 ?f(x)在[?1，0]上的最大值 M??对任意x1,x2?(?1,0)，恒有 |f(x1)?f(x2)|?M?m? 题型八：导数在实际中的应用 1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 解：设OO1为xm，则1?x?4 8 / 10 高中数学导数题型分析及解题方法 2223?(x?1)?8?2x?x由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：m） 6?故底面正六边形的面积为： 333?(8?2x?x2)?(2228?2x?x)=24，（单位：m） 帐篷的体积为： V（x）?3133(16?12x?x3)(8?2x?x2)[(x?1)?1]?3223（单位：m） V（'x）?求导得 3(12?3x2)2。 （x）?0，解得x??2（不合题意，舍去）令V'，x?2， （x）?0，V（x）当1?x?2时，V'为增函数； （x）?0，V（x）当2?x?4时，V'为减函数。 ∴当x?2时，V（x）最大。 3答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为163m。 2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/ y?小时）的函数解析式可以表示为： 13x3?x?8(0?x?120).12800080 已知甲、乙两地相距100千米。 （I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 100?2.5解：（I）当x?40时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时， 13(?403??40?8)?2.5?17.580要耗没128000（升）。 100（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x小时，设耗油量为h(x)升， 131001280015h(x)?(x3?x?8).?x??(0?x?120),12800080x1280x4依题意得 x800x3?803h'(x)??2?(0?x?120).2640x640x 9 / 10 高中数学导数题型分析及解题方法 令h'(x)?0,得x?80. 当x?(0,80)时，h'(x)?0,h(x)是减函数； 当x?(80,120)时，h'(x)?0,h(x)是增函数。 ?当x?80时，h(x)取到极小值h(80)?11.25. 因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。 题型九：导数与向量的结合 r31r13a?(，?),b?(，).2222若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使1．设平面向量 x?a?(t2?k)b,y??sa?tb,且x?y， （1）求函数关系式S?f(t)； ???上是单调函数，求k的取值范围。 （2）若函数S?f(t)在?1，a?(解：（1） rrr3113r,?),b?(,).a?b?1，a?b?02222 rurrur又x?y,x?y?0，得rrrr2?a??b??sa?tb）?0，?（t?k）（r2r2rr22即?sa?（tt?k）b-（t?st?sk）a?b?0。??s?（t2?k）t?0，故s?（ft）?t3?kt。 （2） f?（t）?3t2?k且f（t）在?1，???上是单调函数， ???0 则在?1,???上有f(t)?0或f（t）222?f(t)?0?3t?k?0?k?3t?k?(3t)min?k?3； 由 22?f(t)?0?3t?k?0?k?3t由。 因为在t∈?1,???上3t是增函数，所以不存在k，使k?3t在?1,???上恒成立。故k的取值范 22围是k?3。 10 / 10
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