高数-第七章-无穷级
数-知识点
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第七章 无穷级数
一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序
性）：
n?1aq?n?1?1、形如
的几何级数（等比级数）：当q?1时收敛，当q?1时发散。
2、形如n?13、n???n?1p的P级数：当p?1时收敛，当p?1时发散。 级数发散； 级数收敛
limUn?0??limUn?0n??
4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数
Un?1?ln??Un条件：
lim?Un?1?n，满足
?当l?1时，级数收敛；
?当l?1时，级数发散（或l???）； ?当l?1时，无法判断。
5、根值判别法（适用于含有因式的n次幂）：若正项级数n?1?U?n，满
足条件n??limnUn??：
?当??1时，级数收敛；
?当??1时，级数发散（或????）； ?当??1时，无法判断。 注：当l?1,??1时，方法失灵。
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6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通
过不等式的放缩） 推论：若?Un?1?n与
?Vn?1?nlim均为正项级数，且
Un?ln??Vn（Vn是已知敛散
性的级数)
?若0?l???，则级数???Unn?1与
?Vnn?1有相同的敛散性； ?若l?0且级数??Vnn?1收敛，则级数
??Unn?1收敛；
? ?若l???且级数??Vn发散，则级数
?Unn?1n?1发散。
7、定义判断：若
nlim??Sn?C?收敛，若nlim??Sn无极限?发散。8、判断交错级数的敛散性（莱布尼茨定理）：
满足Un?Un?1，limn??Un?0?收敛，其和S?u1。 9、绝对收敛：级数加上绝对值后才收敛。
条件收敛：级数本身收敛，加上绝对值后发散。
二、无穷级数的基本性质：
1、两个都收敛的无穷级数，其和可加减。
?aU2、收敛的无穷级数??Unnn?1，其和为S，则?n?1，其和为aS （级数的每一项乘以不为0的常数后，敛散性不变）
3、?级数收敛，加括号后同样收敛，和不变。
（逆否命题：加括号后发散，则原级数发散） ?加括号后级数收敛，原级数未必收敛。
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