学年第二学期高三年级质量调研考试
数 学 试 卷（理科）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚，并填涂准考证号．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分使用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写． 2．本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟． 3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．
一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式1?2x?8的解是 ． 2．计算lim2?3?L?n? ．
n??n(n?2)3．在等差数列?an?中，a3?3，a4?5，则a13? ． 4．已知复数z?i（为虚数单位）
，则z?z? ． i2?i开始 输入a，b，c a?b b?c 否 5．已知两条直线l1：ax?2y?3?0，l2：4x?6y?1?0． 若l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量，则a? ． 6．函数y?cosx?3sinxcosx的最小值为 ． 7．设二项式(33x?)的展开式的各项系数的和为p，所 有二项式系数的和为q，且p?q?272，则n的值为 ．
2a?b 是 b?c 1xna?b 否 a?b 是 输出a 结束 ，b?2，c??4，则执行该 8．如右图，若输入的a??5.5程序框图所得的结果是 ． 9．已知随机变量?的分布列如下表，则随 机变量10??1的均值是 ．
x P(??x) 1 a 2 0.4 3 0.2 4 0.1 5 0.2 10．极坐标系中，点A(1,?)到曲线?cos???sin??1?0上的点的最短距离是 ．
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x2211．设P为双曲线2?y?1虚轴的一个端点，Q为双曲线上的一个动点，则PQ的
a最小值为 ．
x12．已知曲线C：x?y?9(x?0,y?0)与函数y?lnx及函数y?e的图像分别
22交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1?x2的值为 ．
13．问题“求方程3x?4x?5x的解”有如下的思路：方程3x?4x?5x可变为
22(3)x?(4)x?1，考察函数f(x)?(3)x?(4)x可知，f(2)?1，且函数f(x)在R上单5555调递减，∴原方程有唯一解x?2.
仿照此解法可得到不等式：x?(2x?3)?(2x?3)?x的解是 ． 14．若f(x)?632x，n?N*?,则，f1(x)?f(x)，fn(x)?fn?1?f?x???n?2x?1f?1??f?2??…?f?2012??f1?1??f2?1??L?f2012?1? = ．
二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
rrrrrrrr15．已知向量a、b都是非零向量，“a?b?|a|?|b|”是“a//b”的 [答]（ ）
（A）充分非必要条件． (B) 必要非充分条件．
（C）充要条件． （D）既非充分也非必要条件． 16．要得到y?sin(2x?(A) 向右平移
?3)的图像,只需将y?sin2x的图像 [答]（ ）
??个单位． (B) 向左平移个单位． 33??(C) 向右平移个单位． (D) 向左平移个单位．
6617．如图，三棱锥的四个顶点P、、、 A B C在同一个球面上， 顶点P在平面ABC内的射影是H，若球心在直线PH
A 上，则点H一定是?ABC的 [答]（ ）
(A) 重心． (B) 垂心． (C) 内心． (D) 外心． 18．方程
P H C B
x|x|y|y|???1的曲线即为函数y?f(x)的图像，对于函数y?f(x)，有169如下结论：①f(x)在R上单调递减；②函数F(x)?4f(x)?3x不存在零点；③ ④若函数g(x)和f(x)的图像关于原点对称，则y?g(x)y?f(|x|)的最大值为3；由方程
y|y|x|x|??1确定．其中所有正确的命题序号是 [答]（ ） 169(A) ③④． (B) ②③． (C) ①④． (D) ①②．
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三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）
已知p：z?(x?1)?4i (其中x?R，i是虚数单位)的模不大于5，和
?3x2，试判断该命题及其逆命q： 2xx?3，若利用p、q构造一个命题“若p，则q”
100题的真假，并说明理由.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD，PB、PD与平面ABCD所成的角依次是45?和arctan1，
AP?2，2P E、F依次是PB、PC的中点. （1）求直线EC与平面PAD所成的角(结果用反三角函数值
表示)；
E F
A （2）求三棱锥P?AFD的体积. D
B C
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．
如图，两铁路线垂直相交于站A，若已知AB=100千米，甲火车从A站出发，沿AC方向以50千米/小时的速度行驶，同时乙火车从B站出发，沿BA方向以v千米/小时的速度行驶，至A站即停止前行（甲车仍继续行驶）（两车的车长忽略不计）. （1）求甲、乙两车的最近距离（用含v的式子表示）； B （2）若甲、乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近时所用时间为
t0小时，问v为何值时t0最大？
A
C
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22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第
(3)小题满分6分．
x2y2已知椭圆??1的两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限内的一点，并uuuruuuur42满足PF、PB分别交椭圆于A、B两点. 1?PF2?1，过P作倾斜角互补的两条直线PA（1）求P点坐标；
，2)时，求直线AB的方程； （2）当直线PA经过点(1 （3）求证直线AB的斜率为定值.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第
3小题满分8分．
A2(0,10)，L、An、L，如图，在y轴的正半轴上依次有点A1、A2、其中点A1(0,1)、且|An?1An|?3|AnAn?1|(n?2,3,4,?)，在射线y?x(x?0)上依次有点
B1、B2、L、Bn、L,点B1的坐标为（3，3），且|OBn|?|OBn?1|?22(n?2,3,4,?).
（1）求|AnAn?1|（用含n的式子表示）； y （2）求点An、Bn的坐标（用含n的式子表示）； （3）设四边形AnBnBn?1An?1面积为Sn，问{Sn}中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由.
An+1 An A2 B2 A1 O B1 x Bn+1 Bn 闵行区2011学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷
参考答案与评分标准
说明：
1．本解答仅列出试题的一种或两种或三种解法，如果考生的解法与所列解答不同，
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可参考解答中的评分精神进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
一、（第1题至第14题） 1． 2．； 3．23； 4．； ?0,3?；
31211； 7．文16，理4； 8．2（或b）； 2115929．文1?P，理30；10．文，理2；11．文，理a?1?2；12．9；
2a?1213．文x??3，理x??1或x?3； 14．2012．
5．3； 6．?二、（第15题至第18题） 15．A； 16．C； 17．D； 18．D． 三、（第19题至第23题） 19.解：由p得(x?1)2?42?25??2?x?4， （4分）
?3x2由q得2xx?3?x2?2x?3?0??1?x?3， （8分）
100， 4]Y[?1 3]，，即p?q，但q?p，∴命题“若p则q”是假命题（10分） 由[?2而其逆命题“若q则p”是真命题. （12分） 20. [解]（文） (1) 依题意，PA?平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA?2，BC?AD?2,AB?1 （2分）
P 1∴S△ABC??2?1?1 （4分） A 2B 12故VP?ABC??1?2?. （7分） C
33(2)∵BC//AD,所以?ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角?，（2分）
又∵PA?平面ABCD，∴PA?BC，又BC?AB，∴BC?面PAB，∴BC?PB,
于是在Rt?CEB中，BC?2，BE?E
D
1PB?112?22?5， （4分）
222tan??BE?5?5， （6分）
BC2?245（或arccos421）. （7分） 421（理）(1) 解法一：分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，依题意，AD?4，AB?2，则各点坐标分别是
z A(0，， 0 0)，B(2，， 0 0)，C(2， 4， 0)，D(0， 4， 0)，
P uuur，， ?1), ∴E(1 0P(0，， 0 2)，，， 1)，F(1 2，， 1)，EC?(1 4又∵AB?平面PAD，
∴异面直线EC和AD所成的角是arctanE F 高三年级质量调研考试理科数学试卷 第 5 页 共 8 页 A D x C B y
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