弧度制 教学设计
前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.
课程目标
1.了解弧度制,明确1弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化.
3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式. 数学学科素养
1.数学抽象：理解弧度制的概念； 2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合； 3.直观想象：区域角的表示；
4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.
重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化； 难点：弧度制概念的理解．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。
一、 情景导入
度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
1
二、预习课本，引入新课
阅读课本172-174页，思考并完成以下问题
1． 1弧度的含义是？ 2．角度值与弧度制如何互化？ 3．扇形的弧长公式与面积公式是？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究
1．度量角的两种单位制 (1)角度制
①定义：用 度 作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的360． (2)弧度制
①定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角． 2．弧度数的计算
3.角度制与弧度制的转算
π1801
正数 负数 零
l r180()°π4．一些特殊角与弧度数的对应关系 度 弧 0 度
0° 30° ?? 645° ?? 460° π 390° π 2120° 135° 150° 180° 270° 360° 2?? 33?? 45?? 6π 3π 22π 2
5．扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则： (1)弧长公式：l＝ αr ．
(2)扇形面积公式：S＝ ???? ＝ ????2 ．
221
1
四、典例分析、举一反三 题型一 角度制与弧度制的互化
例1 把下列弧度化成角度或角度化成弧度： π4π
(1)－450°；(2)；(3)－；(4)112°30′.
103
5π5π
【答案】（1）－ rad；(2) 18°；(3) －240°；(4) rad. 285ππ
【解析】(1)－450°＝－450× rad＝－ rad；
1802ππ?180?
(2) rad＝×??°＝18°； 1010?π?4π4π?180?
(3)－ rad＝－×??°＝－240°；
33?π?π5π
(4)112°30′＝112.5°＝112.5× rad＝ rad.
1808解题技巧：（角度制与弧度制转化的要点）
跟踪训练一
1．将下列角度与弧度进行互化．
7π11π
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－. 125
ππ
【答案】（1） rad；（2）－ rad；（3）105°；（4）－396°.
912
20ππ
【解析】(1)20°＝ rad＝ rad. 180915ππ
(2)－15°＝－ rad＝－ rad.
18012
3
7π7
(3) rad＝×180°＝105°.
121211π11(4)－ rad＝－×180°＝－396°.
55
题型二 用弧度制表示角的集合
例2 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．
???π5
【答案】（1）?θ?－＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z
12???6???3π3π
（2）?θ?－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z
44???
??
?； ??
?????ππ
?；（3）?θ?＋kπ<θ<＋kπ，k∈Z
2???6??
??
?. ??
【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
???π5
(1)?θ?－＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z
12???6???3π3π
(2)?θ?－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z
44??????ππ
(3)?θ?＋kπ<θ<＋kπ，k∈Z
2???6
??
?. ?????. ??
??
?. ??
解题技巧：(表示角的集合注意事项) 1．弧度制下与角α终边相同的角的表示．
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
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2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤． (1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角． 提醒：角度制与弧度制不能混用. 跟踪训练二
1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
① ②
???2ππ
【答案】(1)?α?－＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z
36?????π?(2)?α?2kπ＜α＜3???
??
?. ??
??2π
＋2kπ或＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z?.
3??
2ππ
【解析】(1)如题图①，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，
63所以阴影部分内的角的集合为
???2π＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z?α?－
36???
??
?. ??
π2π
(2)如题图②，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z)．
33不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
??π?则M1＝?α?2kπ＜α＜＋2kπ，
3???
?????2π?k∈Z，M2＝?α?
???3??
5
??
＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z?.
??
人教版高中必修第一册《5.1 任意角和弧度制》公开课优秀教案(7页)
