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2017高考数学一轮复习 第十八章 不等式选讲 18.1 不等式的性质
和绝对值不等式对点训练 理
1．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( ) A．(－∞，4) B．(－∞，1) C．(1,4) D．(1,5) 答案 A
解析 当x<1时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x≤5时，不等式可化为x－1＋(x－5)<2，即2x－6<2，解得x<4，又1≤x≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x>5时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.
2．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋是________．
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a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围
?1?
答案 ?－1，?
2??
解析 设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝
?
?－x＋3，－2 ? 1 ?3x＋1，x≥2.? －3x－1，x≤－2， 可得最小值为，根据条件可得 2 5 a2＋ 1 5 a＋2≤，即2a222 1 ＋a－1≤0，解得－1≤a≤. 2 ??51? 3．若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为?x?－ 3???3 答案 －3 可编辑 精选 51 解析 由不等式的解集可知－，为不等式对应的方程|ax－2|＝3的根，即 33 ????1? a－2?＝3?3???? ?5??－a－2?＝3?3? ，解得a＝－3. 4.已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集； (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围． 解 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0. 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解； 2 当－1 3当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2. ??2? 所以f(x)>1的解集为?x? ?3?? (2)由题设可得， x－1－2a，x<－1， ?? f(x)＝?3x＋1－2a，－1≤x≤a， ??－x＋1＋2a，x>a. 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶 ?2a－1?2 ，0?，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2. 点分别为A?33?? 2 由题设得(a＋1)2>6，故a>2. 3所以a的取值范围为(2，＋∞)． 5．已知关于x的不等式|x＋a| 可编辑 精选 (2)求at＋12＋bt的最大值． 解 (1)由|x＋a| ??－b－a＝2，则?解得a＝－3，b＝1. ??b－a＝4， (2)≤ [ －3t＋12＋ 3 t＝34－t＋t 4－t2＋ 2＋12][t2]＝24－t＋t＝4， 当且仅当故( 4－tt＝，即t＝1时等号成立， 13 －3t＋12＋t)max＝4. 6．已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4. (1)求a＋b＋c的值； 11 2(2)求a＋b2＋c2的最小值． 49 解 (1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c. 当且仅当－a≤x≤b时，等号成立． 又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b， 所以f(x)的最小值为a＋b＋c. 又已知f(x)的最小值为4， 所以a＋b＋c＝4. (2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得 ?1??a?1b11222?a＋b＋c?(4＋9＋1)≥?×2＋×3＋c×1?2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋9349?4??2? c2≥ 8. 7 1 23c8182 当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立． 231777故14 a1 ba2＋ 19 b2＋c2的最小值为 8 . 7 可编辑 精选 7．解不等式x＋|2x＋3|≥2. 3 ?3 ?解 原不等式可化为?? x<－2， 或或x≥－???x≥－2，－x－3≥2， ???3x＋3≥2. 解得x≤－51 3 . 综上，原不等式的解集是???1? ?x??x≤－5或x≥－3?? . 8.设函数f(x)＝??1? ?x＋a?? ＋|x－a|(a>0)． (1)证明：f(x)≥2； (2)若f(3)<5，求a的取值范围． 解 (1)证明：∵a>0，∴f(x)＝??1????x＋a?? ＋|x－a|≥? ?x＋1? a?? －(x－a)??? ＝?? a?? ＝a＋1 ≥2a·1 aa＝2.当且仅当a＝1时取等号，∴f(x)≥2. (2)∵f(3)<5，∴??1?a＋3??? ＋|a－3|<5，即1 a＋3＋|a－3|<5， ∴1a－2 a，解得2 ， ∴a的取值范围是??1＋55＋21? ???2，2?? . 9．若a>0，b>0，且11a＋b＝ ab. (1)求a3＋b3的最小值； (2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由． 解 (1)由 ab＝1a＋1b≥2ab，得ab≥2，当a＝b＝2时，“＝”成立． 故a3＋b3≥2a3b3≥42，当a＝b＝2时，“＝”成立． ∴a3＋b3的最小值为42. (2)2a＋3b≥26 ab≥43. 可编辑 1 a＋ 精选 由于43>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6. 10．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N. (1)求M； (2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋xf2(x)≤ 1. 4 ??3x－3，x∈[1，＋∞， 解 (1)f(x)＝? 1－x，x∈－∞，1.?? 44 当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1，得x≤，∴1≤x≤. 33当x<1时，由f(x)＝1－x≤1，得x≥0， ∴0≤x<1. ?4? ∴f(x)≤1的解集为M＝?0，?. ?3? (2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4， ?1? 得16?x－?2≤4， ?4? 13∴－≤x≤. 44 ?13??3?∴N＝?－，?，∴M∩N＝?0，?. ?44??4? 当x∈M∩N时，f(x)＝1－x， ∴x2f(x)＋xf2(x)＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝故要证的不等式成立． 1?11? －?x－?2≤. 4?2?4 可编辑
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