复平面上的轨迹问题
一、 教学目标：
1、 了解通过复平面可以把复数与平面解析几何中的某些曲线联
系起来。
2、 巩固复习复数的几何意义和解析几何中的求轨迹的方法。 3、 理解并熟记常见曲线的复数方程。 4、 掌握利用复数求轨迹的几种方法。 二、 教学重点与难点
重点：复数的几何意义的应用与复平面上的轨迹的求法 难点：复数的几何意义与复平面上的轨迹的综合应用 三、 教学过程 （一）、知识概述：
1、复数与轨迹：复数?z?x?yi,?x,y?R??对应着复平面内的一个点（x,y），若复数的实部与虚部是一对变量，则它对应的点就构成了复平面上的动点，因此复数若按某种条件变化时，则复平面上的动点自然就构成了具有某种特征的曲线（或曲面）。
2、求复数的轨迹问题的核心问题：理解用复数形式表示复平面上的两点距离d?|z1?z2|。
3、熟练掌握以下几种复数形式的基本轨迹：
设动点Z、定点Z0、Z1、Z2分别对应于复数
z,z0,z1,z2,r1?0,r2?0,a?0。
（1） 圆：|z?z0|?r,其中r为半径，Z0为圆心；单位圆：|z|?1. （2） 圆面（不包括圆周）：|z?z0|?r。
（3） 圆环面：r1?|z?z0|?r2?r1?r2?，其中为r1内半径，r2为外半
径，左边等号成立，包括内圆周；右边等号不成立，不包括外圆周。
（4） 线段的垂直平分线：|z?z1|?|z?z2|，其中z1、z2为对应线
段的两个端点。
（5） 椭圆：|z?z1|?|z?z2|?2a，?2a?|z1?z2|?，其中z1、z2为对
应椭圆的焦点，2a为其长轴长（当2a?|z1?z2|时，表示线段Z1,Z2；当2a?|z1?z2|时，不表示任何图形）。
（6） 双曲线：|z?z1|?|z?z2|??2a?2a?|z1?z2|?，其中z1、z2为对
应双曲线的焦点，2a为实轴长，（当2a?|z1?z2|时，表示两条射线-------------线段Z1Z2的延长线及其反向延长线；当
2a?|z1?z2|时，不表示任何图形）。
（二）、例题分析：
例1、 设z??R，求z在复平面内所对应的点的轨迹。
?解题提示：z??R?z??z???????z?z??z1z1z??1z1????z?zzz?????0
?????1????z?z?(1?2)?0?z?z或|z|?1?z?R或|z|?1。
z??点评分析：本题利用了整体法求复数的轨迹。利用整体法求复数的轨迹的思路是：运用复数的有关性质，通过复数的有关运算、化繁为简，寻找复数形式的基本轨迹。
例2、 已知复数z满足argz?应点的轨迹。
解法提示：要求复数??z?在复平面内对应点的轨迹，可以令 ??x?yi(x,y?R)，再利用复数相等的充要条件求出?的直角坐标方程。
点评分析：本题利用了设点法求复数的轨迹。利用设点法求复数的轨迹的思路是：（1）先设点z?x?yi(x,y?R)，（2）再找出z满足的条件，（3）由复数相等的充要条件写出轨迹的参数方程，（4）消去参数化为普通方程。
例3、 若复数z在以1+i为圆心，1为半径的圆周上运动，问
??1?iz的图形是怎样？ 1?iz1?iz解出z代1?iz1z?4，求复数??z?在复平面内对
1z解题分析：已知圆的方程为|z?(1?i)|?1，由??入圆的方程即得关于?的方程。
点评分析：本题利用了相关点法求复数的轨迹。
例4、 设复数Z满足|z?1?3i|?1。（1）求argz的最大值与最
小值。
（2）以|OZ|为一边作正方形OZAB（按逆时针顺序），求点B的轨迹方程。
点评分析：此题沟通了解析几何与复数之间的内在联系，由正方形?向量垂直?向量旋转?复数乘除法。这是复数方法解决几何问题的常用方法。 (三)课堂总结：
1、 解决复平面上的轨迹问题实质上同平面解析几何中的求轨迹问
题是运用相同的方法。
2、理解用复数形式表示复平面上的两点距离d?|z1?z2|是运用复数求轨迹问题的关键。 四、 能级层次训练题
1、 满足条件|z?2i|?|z?1|?5的点Z的轨迹是（ ） A椭圆 B直线 C线段 D圆 2、 设|z?(1?3i)|?2，且0?argz??3，则复数z在复平面内对应
区域的面积是______________________.
3、已知复数的模为2，则的最大值为（ ） A 1 B 2 C 5 D 3
4、 表示点Z的复数满足不等式zz?iz?iz?0，求arg?z?i?的最大
值与最小值。
5、正方形ABCD的一边AB在直线y?x?4上，C、D在抛物线y2?x上，求正方形ABCD的面积。
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