邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。第3讲 等比数列及其前n项和
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( ) A.{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列
B.{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列 C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列 D.{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列 解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列. 答案 C
2.在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为( ) A.2
1
B. 2
1
C.2或 2
1
D.－2或
2
a1＋a4a1（1＋q3）1＋q3（1＋q）（1－q＋q2）
解析 设数列{an}的公比为q，由＝＝＝＝
a2＋a3a1（q＋q2）q＋q2q（1＋q）
1－q＋q2
q181
＝，得q＝2或q＝.故选C. 122
答案 C
3.(必修5P67A1(2)改编)一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂( ) A.55 986
B.46 656
C.216
D.36
解析 设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}成等比数列，a1＝6，q＝6，所以{an}的通项公式an＝6×6
6
n－1
，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝6×6＝
5
6＝46 656只蜜蜂，故选B. 答案 B
4.(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( ) A.21
B.42
C.63
D.84
2
4
2
解析 设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q＋q)＝21，解得q＝－3(舍去)或q＝2，于是a3＋a5＋a7＝q(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B. 答案 B
2
2
5.设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于( )
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。A.150 C.150或－200
B.－200 D.400或－50
2
解析 依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)＝S10(S30－
S20).
即(S20－10)＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30，又S20＞0， 因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40， 故S40－S30＝80.
2
S40＝150.故选A.
答案 A 二、填空题
6.(2017·乐清市模拟)在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于________.
解析 两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3.即q＝3. 答案 3
7.(2017·宁波调研)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2(n∈N)，则a3＝________；通项公式an＝________.
解析 ∵a1＝1，an＋1＝an＋2(n∈N)，∴a2＝a1＋2＝3，a3＝a2＋2＝3＋4＝7.n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2立)，∴an＝2－1. 答案 7 2－1
8.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________.
nnn－1
n*
2
a4
a3
n*
＋2
n－2
2－1n＋…＋2＋1＝＝2－1(n＝1时也成
2－1
na1（1－q4）
解析 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1且q＞0，因为S4＝3S2，所以
1－q3a1（1－q）242＝，解得q＝2，因为a3＝2，所以a7＝a3q＝2×2＝8.
1－q答案 8 三、解答题
9.在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an；
(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解 (1)设{an}的公比为q，依题意得
???a1q＝3，?a1＝1，?4解得? ?a1q＝81，?q＝3.??
2
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。因此，an＝3
n－1
.
(2)因为bn＝log3an＝n－1， 所以数列{bn}的前n项和Sn＝
n（b1＋bn）n2－n2
＝2
.
10.(2017·宁波十校联考)设{an}是公比为q的等比数列. (1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列. 解 (1)设{an}的前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1； 当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q＋…＋a1q2
n－1
，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1q，
nna1，q＝1，??a1（1－q）
∴Sn＝，∴Sn＝?a1（1－qn）
1－q，q≠1.??1－qn(2)假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N， (ak＋1＋1)＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
2
*
a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
2kkk－1k＋1k－1k＋1
a2·a1q＋a1q＋a1q， 1q＋2a1q＝a1q∵a1≠0，∴2q＝q2
kk－1
＋qk＋1
.
∵q≠0，∴q－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾. 故数列{an＋1}不是等比数列.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
11.在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于( ) A.12
B.13
C.14
D.15
解析 设数列{an}的公比为q， 由a1a2a3＝4＝a1q与a4a5a6＝12＝a1q， 可得q＝3，an－1anan＋1＝a1q因此q3n－69
33n－3
33
312
＝324，
＝81＝3＝q，
436
所以n＝14，故选C. 答案 C
12.(2016·临沂模拟)数列{an}中，已知对任意n∈N，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3－1，则a1＋a2＋
2a23＋…＋an等于( )
*
n22
2024年高考数学总复习第七章数列推理与证明第3讲等比数列及其前n项和课时作业
