邴原少孤,数岁时,过书舍而泣。师曰:“童子何泣?”原曰:“孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也。一则愿其不孤,二则羡其得学,中心伤感,故泣耳。”师恻然曰:“欲书可耳!”原曰:“无钱资。”师曰:“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间,诵《孝经》《论语》。第3讲 等比数列及其前n项和
基础巩固题组 (建议用时:40分钟)
一、选择题
1.已知{an},{bn}都是等比数列,那么( ) A.{an+bn},{an·bn}都一定是等比数列
B.{an+bn}一定是等比数列,但{an·bn}不一定是等比数列 C.{an+bn}不一定是等比数列,但{an·bn}一定是等比数列 D.{an+bn},{an·bn}都不一定是等比数列 解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列. 答案 C
2.在等比数列{an}中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,那么这个数列的公比为( ) A.2
1
B. 2
1
C.2或 2
1
D.-2或
2
a1+a4a1(1+q3)1+q3(1+q)(1-q+q2)
解析 设数列{an}的公比为q,由====
a2+a3a1(q+q2)q+q2q(1+q)
1-q+q2
q181
=,得q=2或q=.故选C. 122
答案 C
3.(必修5P67A1(2)改编)一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有________只蜜蜂( ) A.55 986
B.46 656
C.216
D.36
解析 设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an,根据题意得数列{an}成等比数列,a1=6,q=6,所以{an}的通项公式an=6×6
6
n-1
,到第6天,所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有a6=6×6=
5
6=46 656只蜜蜂,故选B. 答案 B
4.(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( ) A.21
B.42
C.63
D.84
2
4
2
解析 设等比数列{an}的公比为q,则由a1=3,a1+a3+a5=21得3(1+q+q)=21,解得q=-3(舍去)或q=2,于是a3+a5+a7=q(a1+a3+a5)=2×21=42,故选B. 答案 B
2
2
5.设各项都是正数的等比数列{an},Sn为前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40等于( )
邴原少孤,数岁时,过书舍而泣。师曰:“童子何泣?”原曰:“孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也。一则愿其不孤,二则羡其得学,中心伤感,故泣耳。”师恻然曰:“欲书可耳!”原曰:“无钱资。”师曰:“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间,诵《孝经》《论语》。A.150 C.150或-200
B.-200 D.400或-50
2
解析 依题意,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)=S10(S30-
S20).
即(S20-10)=10(70-S20),故S20=-20或S20=30,又S20>0, 因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40, 故S40-S30=80.
2
S40=150.故选A.
答案 A 二、填空题
6.(2017·乐清市模拟)在等比数列{an}中,Sn表示前n项和,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q等于________.
解析 两式相减得a4-a3=2a3,从而求得=3.即q=3. 答案 3
7.(2017·宁波调研)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2(n∈N),则a3=________;通项公式an=________.
解析 ∵a1=1,an+1=an+2(n∈N),∴a2=a1+2=3,a3=a2+2=3+4=7.n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2立),∴an=2-1. 答案 7 2-1
8.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=3S2,a3=2,则a7=________.
nnn-1
n*
2
a4
a3
n*
+2
n-2
2-1n+…+2+1==2-1(n=1时也成
2-1
na1(1-q4)
解析 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,显然q≠1且q>0,因为S4=3S2,所以
1-q3a1(1-q)242=,解得q=2,因为a3=2,所以a7=a3q=2×2=8.
1-q答案 8 三、解答题
9.在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求an;
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn. 解 (1)设{an}的公比为q,依题意得
???a1q=3,?a1=1,?4解得? ?a1q=81,?q=3.??
2
邴原少孤,数岁时,过书舍而泣。师曰:“童子何泣?”原曰:“孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也。一则愿其不孤,二则羡其得学,中心伤感,故泣耳。”师恻然曰:“欲书可耳!”原曰:“无钱资。”师曰:“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间,诵《孝经》《论语》。因此,an=3
n-1
.
(2)因为bn=log3an=n-1, 所以数列{bn}的前n项和Sn=
n(b1+bn)n2-n2
=2
.
10.(2017·宁波十校联考)设{an}是公比为q的等比数列. (1)推导{an}的前n项和公式;
(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. 解 (1)设{an}的前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1; 当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q+…+a1q2
n-1
,①
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②
①-②得,(1-q)Sn=a1-a1q,
nna1,q=1,??a1(1-q)
∴Sn=,∴Sn=?a1(1-qn)
1-q,q≠1.??1-qn(2)假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N, (ak+1+1)=(ak+1)(ak+2+1),
2
*
a2k+1+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
2kkk-1k+1k-1k+1
a2·a1q+a1q+a1q, 1q+2a1q=a1q∵a1≠0,∴2q=q2
kk-1
+qk+1
.
∵q≠0,∴q-2q+1=0,∴q=1,这与已知矛盾. 故数列{an+1}不是等比数列.
能力提升题组 (建议用时:25分钟)
11.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于( ) A.12
B.13
C.14
D.15
解析 设数列{an}的公比为q, 由a1a2a3=4=a1q与a4a5a6=12=a1q, 可得q=3,an-1anan+1=a1q因此q3n-69
33n-3
33
312
=324,
=81=3=q,
436
所以n=14,故选C. 答案 C
12.(2016·临沂模拟)数列{an}中,已知对任意n∈N,a1+a2+a3+…+an=3-1,则a1+a2+
2a23+…+an等于( )
*
n22
2018年高考数学总复习第七章数列推理与证明第3讲等比数列及其前n项和课时作业
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