专题20 数列的概念与简单表示法
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）. （2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.
一、数列的相关概念 1．数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,L,an,L,简记为?an?． 2．数列与函数的关系
数列可以看成定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,L,n})的函数an?f?n?，当自变量按照由小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．
由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集（或其有限子集{1,2,L,n}）这一条件. 3．数列的分类 分类标准 按项的 个数 按项的变名称 含义 有穷数列 项数有限的数列，如数列1，2，3，4，5，7，8，9，10 无穷数列 项数无限的数列，如数列1，2，3，4，… 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项，如数列1，3，5，7，9，…
化趋势 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项，如数列10，9，8，7，6，5，… 常数列 各项都相等的数列，如数列2，2，2，2，… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如1，2，1，2 按项的有界性 有界数列 任一项的绝对值都小于某一正数，如－1，1，－1，1，－1，1，… 无界数列 不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如2，4，6，8，10，… 二、数列的表示方法
（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况． （2）解析法：主要有两种表示方法，
①通项公式：如果数列?an?的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即an?f(n)．
②递推公式：如果已知数列?an?的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an?1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相
应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点． 三、数列的前n项和与通项的关系
?S1数列的前n项和通常用Sn表示，记作Sn?a1?a2?L?an，则通项an??．
S?S,n?2n?1?n若当n?2时求出的an也适合n?1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示．
考向一 已知数列的前几项求通项公式
1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法． 具体策略：
①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项的符号特征和绝对值特征；
⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； ⑥对于符号交替出现的情况，可用(?1)k或(?1)k?1,k?N处理．
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想. 2．常见的数列的通项公式：
（1）数列1，2，3，4，…的通项公式为an?n； （2）数列2，4，6，8，…的通项公式为an?2n；
2（3）数列1，4，9，16，…的通项公式为an?n； n（4）数列1，2，4，8，…的通项公式为an?2；
*（5）数列1，
1111，，，…的通项公式为an?； 234n（6）数列
11111，，，，…的通项公式为an?．
n(n?1)2612203．根据图形特征求数列的通项公式，首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化，其次要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律，最后归纳猜想出通项公式．
典例1 根据数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式. （1）?1,7,?13,19,L； （2）8，98，998，9998，…; （3）
115132961,,?,,?,,?; 248163264（4）1，6，12，20，…； （5）0.8,0.88,0.888,L
【解析】（1）符号问题可通过??1?或??1?nn?1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总
n比前面数的绝对值大6，故通项公式为an???1??6n?5?.
（2）各项分别加上2，即得数列:10，100，1000，10000， …， 故数列的一个通项公式为an=10n?2.
考点20 数列的概念与简单表示法-2020年高考数学(文)考点一遍过
