2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学参考解答
一、选择题：每小题5分，满分45分．
1．C 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．B 9．D
二、填空题：每小题5分，满分30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．3?2i 11．10 12．5 13．三、解答题 16．满分14分．
（Ⅰ）解：在ABC中，由余弦定理及a?212113； 14．4 15．； 63622,b?5,c?13，有
a2?b2?c22?cosC??．又因为C?(0,?)，所以C?．
2ab24（Ⅱ）解：在ABC中，由正弦定理及C??4,a?22,c?13，可得sinA?asinC213?． c132133132，可得cosA?1?sinA?，进而1313（Ⅲ）解；由a?c及sinA?sin2A?2sinAcosA?125．所以，,cos2A?2cos2A?1?1313????12252172?． sin?2A???sin2Acos?cos2Asin?????4?4413213226?17．满分15分．
依题意，以C为原点，分别以CA,CB,CC1的方向为x轴，角坐标系（如图），可得C(0,0,0),y轴，轴的正方向建立空间直
A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3)，
A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2)，M(1,1,3)．
（Ⅰ）证明：依题意，C1M所以C1M?(1,1,0)，B1D?(2,?2,?2)，从而C1M?B1D?2?2?0?0，
?B1D．
（Ⅱ）解：依题意，CA?(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量，EB1?(0,2,1)，
?ED?(2,0,?1)．设n?(x,y,z)为平面DB1E的法向量，则?设x?1，可得n?(1,?1,2)．
?n?EB1?0,??n?ED?0,即??2y?z?0,不妨
2x?z?0.?30CA?n6sin?CA,n??因此有cos?CA,n??，于是． ?66|CA||n|所以，二面角B?B1E?D的正弦值为
30． 6（Ⅲ）解：依题意，AB?(?2,2,0)．由（Ⅱ）知n?(1,?1,2)为平面DB1E的一个法向量，于是cosAB?n3??．
3|AB||n|3． 3所以，直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为18．满分15分．
（Ⅰ）解：由已知可得b?3．记半焦距为c，由|OF|?|OA|可得c?b?3．又由a2?b2?c2，
22xy??1． 可得a2?18．所以，椭圆的方程为
189
（Ⅱ）解：因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB?CP．依题意，直线
?y?kx?3,?设直线AB的方程为y?kx?3．由方程组?x2y2消AB和直线CP的斜率均存在．
?1,???189去
ky，可得?2k2?1?x2?12kx?0，解得x?0，或x?1222k?1．依题意，可得点B的
?12k6k2?3?坐标?因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0,?3)，所以点P的,2?．2?2k?12k?1?坐标为??3??6k,?．由3OC?OF，得点C的坐标为(1,0)，故直线CP的斜率为22?2k?12k?1??3?02332k?1，即2．又因为AB?CP，所以k?2??1，整理得6k2k?6k?12k?6k?1?12k2?112k2?3k?1?0，解得k?，或k?1．
21所以，直线AB的方程为y?x?3，或y?x?3．
219．满分15分． （Ⅰ）解：设等差数列
?an?的公差为d，等比数列?bn?的公比为q．由a1?1，
a5?5?a4?a3?，可得d?1，从而?an?的通项公式为an?n．由b1?1,b5?4?b4?b3?，
又q?0，可得q2?4q?4?0，解得q?2，从而?bn?的通项公式为bn?2n?1．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得Sn?2Sn?1n(n?1)1，故SnSn?2?n(n?1)(n?2)(n?3)，241122从而SnSn?2?Sn所以SnSn?2?(n?1)2?n?2?，??(n?1)(n?2)?0，?142?Sn2?1．
（Ⅲ）解：当n为奇数时，cn3an?2?bn??anan?2(3n?2)2n?12n?12n?1；当n为偶数时，???n(n?2)n?2ncn?an?1n?1?n． bn?12对任意的正整数n，有
?22k22k?2?22nc2k?1?????1， ???2k?1?2n?1k?1k?1?2k?1nn和
?c2k??k?1n2k?1135??2?3?k4444k?1n?2n?1． ① 4n由①得
1n13c??2k42?43?4k?1?2n?32n?1?n?1． ② 4n42?1?1??22n?14?4n?12n?1??n?n?1???n?1，从而得144441?43n12由①②得?c2k??2?4k?14456n?5c???2kn．
99?4k?14n6n?54??． 因此，?ck??c2k?1??c2k?n2n?19?49k?1k?1k?12nnnn4n6n?54??． 所以，数列?cn?的前2n项和为n2n?19?4920．满分16分．
（Ⅰ）（i）解：当k?6时，f(x)?6x3?6lnx，故f?(x)?3x2?．可得
xf(1)?1，f?(1)?9，
所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?1?9(x?1)，即y?9x?8． （ii）解：依题意，g(x)?x3?3x2?6lnx?3,x?(0,??)．从而可得x33(x?1)(x?1)??63?2g(x)?g(x)?0，解得x?1．，整理可得．令 g(x)?3x?6x??22xxx当x变化时，g?(x),g(x)的变化情况如下表：
(0,1) - ↘ 1 0 极小值 x g?(x) g(x) (1,??) + ↗ 所以，函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,??)；g(x)的极小值为
g(1)?1，无极大值．
（Ⅱ）证明：由
f(x)?x3?klnx，得f?(x)?3x2?k．
x
对任意的x1,x2?[1,??)，且x1?x2，令
x1?t(t?1)，则 x2?x1?x2??f??x1??f??x2???2?f?x1??f?x2??
??3x?kk?23??x1?x2??3x12??3x2???2?x1?x2?kln1?
x1x2?x2????xx?x332?x1?x2?3x12x2?3x1x2?k?1?2??2kln1
x2?x2x1?1?3?x2t??2lnt?t3?3t2?3t?1??k???． ①
t??1令h(x)?x??2lnx,x12?1??x?[1,??)．当x?1时，h(x)?1?2???1???0，由
xx?x?1t2此可得h(x)在[1,??)单调递增，所以当t?1时，h(t)?h(1)，即??2lnt?0．因为x21，
t3?3t2?3t?1?(t?1)3?0,k?3，所以，
?1??1?33232x2t?3t?3t?1?kt??2lnt?(t?3t?3t?1)?3t??2lnt??????
?t??t??t2?3t2?6lnt?3?1． ② t3?1，故 t由（Ⅰ）（ii）可知，当t?1时，g(t)?g(1)，即t3?3t2?6lnt?t2?3t2?6lnt?3?1?0． ③ t由①②③可得?x1?x2?f??x1??f??x2??2f?x1??f?x2??0．所以，当k?????3时，
f??x1??f??x2?f?x1??f?x2?对任意的x1,x2?[1,??)，且x1?x2，有． ?2x1?x2
2024年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷 天津卷 (含答案)
