（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣
．
解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴解得：
，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；
（2）∵点E（2，m）在抛物线上， ∴m=4﹣4﹣3=﹣3， ∴E（2，﹣3）， ∴BE=
=
，
∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点， ∴FH是三角形ABE的中位线， ∴FH=BE=×
36.已知抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k的取值范围.
解:∵y=2x2-kx-1,∴△=(-k)2-4×2×(-1)=k2+8>0,
∴无论k为何实数, 抛物线y=2x2-kx-1与x轴恒有两个交点.
=
．
设y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标分别为x1,x2,且规定x1<2,x2> 2, ∴x1-2<0,x2-2>0.
∴(x1-2)(x2-2)<0,∴x1x2-2(x1+x2)+4<0.
∵x1,x2亦是方程2x2-kx-1=0的两个根, ∴x1+x2=,x1·x2=-, ∴,∴k>. ∴k的取值范围为k>.
m23 37．已知抛物线y=x－mx+与抛物线y=x2+mx－m2在平面直角坐标系中的
242
位置如图26－2－1,其中一条与x轴交于A、B两点． （1）试判断哪一条抛物线经过A、B两点？并说明理由． （2）若A、B两点到原点的距离OA、OB满足点的抛物线的关系式．
112??，求经过A、B两OBOA3
图26－2－1
解：(1)经过A、B两点的抛物线的Δ＞：（2）可根据一元二次方程根与系数关系来解.
m2解法一：（1）y=x－mx+,中Δ1=m2－2m2=－m2．
22
∵抛物线不过原点，∴m≠0.∴－m2<0.∴Δ1<0．
m2∴抛物线y=x－mx+与x轴无交点．
22
∴y=x2+mx－
32
m经过A、B两点． 4（2）设A（x1，0），B（x2，0），则x1＜0，x2＞0，
∴OA=－x1，OB=x2． 又∵
112112??,∴??，
x2x13OBOA3即3（x1+x2）=2x1x2． 又∵x1、x2是方程x2+mx－∴－3m=?323m=0的两根，∴x1+x2=－m，x1x2=－m2． 4432
m．∴m1=0（不符合题意，舍去），m2=2． 2∴经过A、B两点的抛物线为y=x2+2x－3． 解法二：（1）∵两条抛物线都不过原点，
m2m2∴m≠0．抛物线y=x－mx+与y轴交于(0，)．
222
m2m22
∵>0，∴抛物线y=x－mx+不经过A、B点．
223233m与y轴交于（0，－m2），－m2<0， 4443∴抛物线y=x2+mx－m2经过A、B两点．
4抛物线y＝x2+mx－
（2）同解法一中的（2）．
38．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．
(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；
(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围.
解:（1）设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,把点A(1,0)、B(2,1)和c=m代入,
m?1?a?,?2?c?m,?3m?1??得?a?b?m?0,解得?b??,
2?4a?2b?m?1,???c?m,??所以，解析式为y=
m?123m?1x－x+m(m≠－1)． 22（2）二次函数与x轴有两个相异的交点，即 Δ=b2－4ac=(
3m?12m?1)－4m()>0， 22解得m≠1.又m≠－1,得m≠±1. 39．已知抛物线y=2x2和直线y=ax+5．
（1）求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线与直线的两个交点，点P是线段AB的中点，且点P的横坐标为
x1?x2，试用含a的代数式表示点P的纵坐标； 2（3）设A,B两点的距离d=1?a2·｜x1－x2｜,试用含a的代数式表示d. 解：（1）将y=ax+5代入y=2x2,消去y得2x2－ax－5=0,
∵Δ=(－a)2－4×2×(－5)=a2+40>0，∴方程有两个不相等的实数根． ∴不论a取何值，抛物线与直线一定有两个不同的交点． （2）∵x1、x2是方程2x2－ax－5=0的两个根,∴x1+x2=
a5,x1x2=?． 22y1?y2ax1?5?ax2?5aa2aa??(x1+x2)+5=·+5=点P的纵坐标为+5．
422222（3）∵x1+x2=
a5,x1x2=?． 2222a2a2?40∴｜x1－x2｜=(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?. ?10?42a2?401∴d=1?a?=
222a4?41a2?40.
40．已知二次函数y=x2+px+q(p,q为常数，Δ=p2－4q>0)的图象与x轴相交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x2－5x+6及图象(如图26－2－3)，可得出表中第2行的相关数据． y=x2+px+q y=x2－5x+6 y=x2－1x 2p －5 ?1 2q 6 －2 Δ 1 1 4x1 2 －2 x2 3 1 2d 1 3 y=x2+x－2 (1)在表内的空格中填上正确的数；
(2)根据上述表内d与Δ的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；
(3)对于函数y=x2+px+q(p,q为常数，Δ=p2－4q>0)证明你的猜想.
图26－2－3 解：(1)第二行q=0,x1=0；d=(2)猜想：d2=Δ.
例如：y=x2－x－2中,p=－1,q=－2,Δ=9; 由x2－x－2=0得x1=2，x2=－1,d=3,d2=9, ∴d2=Δ．
(3)证明:令y=0，得x2+px+q=0，∵Δ>0，
设x2+px+q=0的两根为x1,x2.则x1+x2=－p,x1·x2=q．
d2=(｜x1－x2｜)2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2=(－p)2－4q=p2－4q=Δ.
1；第三行p=1,△=9，x2=1； 2
人教版九年级上册数学同步作业含答案 22.2二次函数与一元二次方程（能力提升40题）
