∴设y=a(x－4)(x－2)=a(x2－6x+8)=ax2－6ax+8a． 顶点到x轴距离为3，即顶点纵坐标为3或－3，
32a2?36a232a2?36a2∴=3或=－3.
4a4a解得a=－3或a=3．∴y=－3x2+18x－24或y=3x2－18x+24． 注意：顶点到x轴距离分顶点在x轴上方和下方两种情况.
22.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，由抛物线的特征你能得到含有a、b、c三个字母的等式或不等式为______(写出三个).
答案：b－4ac>0，abc>0，a+b+c<0，a－b+c>0等(不唯一)
2
23.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根,作出了如图所示的图象,观察后得一个近似根为x1=-4.5,则方程的另一个近似根为x2= (精确到0.1).
答案：2.5
24.已知二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有且只有一个公共点,则一元二次不等式x2+2x+m>0的解集为 . 答案：x≠-1
25. 如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0,-3),请你确定一个b的值使该抛物线与x轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间,你所确定的b的值是 .
【解析】由题意可知c=-3,解析式为y=x2+bx-3,若抛物线与x轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间,则答案:-(答案不唯一)
26．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是 ． 答案：
＜a＜﹣2．
得-2 27．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是 ． 答案：3． 28．对称轴平行于y轴的抛物线过A(2，8)，B(0，－4)，且在x轴上截得的线段长为3，求此函数的解析式． 答案：y?? 29.m为何值时，函数y＝(m－1)x2＋2mx＋m－1与x轴只有一个交点? 1 答案： m=1或 2 30.已知函数解析式为y=ax2-(1-3a)x+2a-1. 求证:a取任何实数时,函数y=ax2-(1-3a)x+2a-1与x轴总有交点. 证明：①当a=0时,解析式为y=-x-1,此时函数为一次函数,图象与x轴有一个交点. ②当a≠0时,此时为二次函数y=ax2-(1-3a)x+2a-1, ∵b2-4ac=[-(1-3a)]2-4a(2a-1)=a2-2a+1=(a-1)2≥0总成立,∴二次函数图象与x轴总有交点. 182662 x?x?4或y＝2x＋2x－4． 55综上,a取任何实数时,函数y=ax2-(1-3a)x+2a-1与x轴总有交点. 31.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x 轴上,点C 在直线y=x-2上. (1)求矩形各顶点坐标; (2)若直线y=x-2与y轴交于点E,抛物线过E、A、B三点,求抛物线的关系式; (3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部,并说明理由. yDOEACBx 解:(1)如答图所示. ∵y=x-2,AD=BC=2,设C点坐标为(m,2), 把C(m,2)代入y=x-2, 2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1, ∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2). (2)∵y=x-2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2). 设经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c, ∴, 解得 ∴y=. (3)抛物线顶点在矩形ABCD内部. ∵y=, ∴顶点为. ∵, ∴顶点在矩形ABCD内部. 32．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？ （1）证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0， ∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解， 即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点； （2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3， 把函数y=（x﹣m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0）， 因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点， 所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点． 33. 已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限. (1)用a,c表示b. (2)判断点B所在象限,并说明理由. (3)若直线y2=2x+m经过点B,且与该抛物线交于另一点C(,b+8),求当x≥1时y1的取值范围. 解：(1)∵抛物线过点A(1,0), ∴a+b+c=0,∴b=-a-c. (2)B在第四象限.理由如下: 因为方程ax2+bx+c=0两根为x1=1,x2=,a≠c, 所以抛物线与x轴有两个交点. 又因为抛物线不经过第三象限, 所以a>0,且顶点在第四象限. (3)由(2)知抛物线与x轴两个交点为A(1,0)与∵直线y2=2x+m与该抛物线交于点B、点C . , ∴点C就是抛物线与x轴的一个交点,即b+8=0,b=-8,此时-a-c=-8,y1=ax2-8x+c,抛物线顶点B的坐标为 . 把B,C两点代入直线解析式y2=2x+m,得ac+2c=24. 又a+c=8,解得a=c=4(与a≠c矛盾,舍去)或a=2,c=6.∴y1=2x2-8x+6,B(2,-2). 画出上述二次函数的图象,观察图象知,当x≥1时,y1的最小值为顶点纵坐标-2,且无最大值. ∴当x≥1时,y1的取值范围是y1≥-2. 34.已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象的对称轴是x=2，且最高点在直线 12y=x+1上，求这个二次函数的表达式. 解：∵二次函数的对称轴x=2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y=上. ∴y= 1×2+1=2. 21x+12∴y=(m2－2)x2－4mx+n的图象顶点坐标为(2，2). ∴－ ?4mb=2.∴－=2. 22(m?2)2a解得m=－1或m=2. ∵最高点在直线上，∴a<0, ∴m=－1. ∴y=－x2+4x+n顶点为(2，2). ∴2=－4+8+n.∴n=－2. 则y=－x2+4x+2. 35．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式；
人教版九年级上册数学同步作业含答案 22.2二次函数与一元二次方程（能力提升40题）
