立体几何中的最值问题
2007年普通高等学校招生全国统一考试新课程标准数学科考试大纲指出，通过考试，让学生提高多种能力，其中空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力.要在立体几何学习中形成。立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，查遍近几年全国各省市的高考题中，与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题常常在高考试题中出现，并且成增长趋势。下面举例说明解决这类问题的常用方法。 策略一、公理与定义法
例1、在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，
S
底面边长为2，点P、Q分别在线段BD、SC上移动， 则P、Q两点的最短距离为（ ）
B
A.
A Q D P O C 5 5 B.
25 5 C. 2 D. 1
【解析】如图1，由于点P、Q分别在线段BD、SC上移动，先让点P在BD上固定，Q在SC上移动，当OQ最小时，PQ最小。过O作OQ⊥SC，在Rt△SOC中，OQ?P在BD上运动，且当P运动到点O时，PQ最小，
25。又5等于OQ的长为
25，也就是异面直线BD和SC的 5公垂线段的长。故选B。 策略二 建立函数法
例2 正?ABC的边长为a，沿BC的平行线PQ折叠，使平面A?PQ?平面
BCQP，求四棱锥的棱A?B取得最小值时，四棱锥A??BCQP的体积。
分析：棱A?B的长是由A?点到PQ的距离变化而变化， 因此我们可建立棱A?B与点A?到PQ的距离的一个函数关系式， 从而求出棱A?B的最小值，进而求出体积。
【解析】如图所示，取PQ中点o，显然AO?PQ，即
z A? A P o Q y C x A?O?PQ
B 由平面A?PQ?平面BCQP，则A?O?平面BCQP，如图建立直角坐标系O?xyz，设
1
?3?1?，得 a?x,?a,0A?O?x，因正?ABC的边长为a，易知A??0,0,x?,O?0,0,0?,B??2?2???3??3?11???? A?B?A?O?OB??0,0,?x???a?x,?a,0a?x,?a,?x?2???22???2??3??1?2?3?5????a????x?2?2x2?3ax?a2?2?x???a2?A?B??a?xa?2??2??4?8????即当x?22310a时，A?Bmin?a 4423?11?33133a??2??SBCPQ?A?O???a??a? ?a???33?44?2??464??VA??BCPQ评注：对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后不变的数量关系和图形关系；同时还
要仔细观察翻折前后图形的性质。很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。 策略三；解不等式法
例3 求半径为R的球内接正三棱锥体积的最大值。
分析:要使球内接正三棱锥的体积最大,则需正三棱锥的边或高最大,而高过球心,则可寻球高与半径之间的关系。
【解析】如右图所示，设正三棱锥高O1A=h, 底面边长为a由正三棱锥性质可知O1B=又知OA=OB=R则在Rt?ABC中，
A3a， 3ODBO1C32(a)?R2?(h?R)2? a2?3h(2R?h) 3?hh???2R?h?833133hh?22?V=gah?h(2R?h)?3g(2R?h)?3?22=R ??27344223????3(当且仅当
h4?2R?h，即h?R时，取等号 ) ?正三棱锥体积最大值为 23833
R27策略四；变量分析法
例4 如图已知在?ABC中，?C?90，PA⊥平面ABC，
AE⊥PB交PB于E，AF⊥PC于F，当AP=AB=2，?AEF??，当?变化时，求三棱锥P-AEF体积的最大值。
分析：?的变化是由ＡＣ与ＢＣ的变化引起的，要求三棱锥P-AEF的体积，则需找到三棱锥P-AEF的底面积和高，高为定值时，底面积最大，则体积最大。
2
0
【解析】∵PA⊥平面ABC， BC?平面ABC∴ PA⊥BC
又∵ BC⊥AC ， PA
?AC?A∴ BC⊥平面PAC，
AF?平面PAC， ∴ BC⊥AF ，
又∵ AF⊥PC， PC?BC?C ∴AF?平面PBC平面PBC，∴AF⊥EF ∴ EF是AE在平面PBC上的射影， ∵AE⊥PB， ∴EF⊥PB ∴ PE⊥平面AEF
在三棱锥P-AEF中，∵AP=AB=2，AE⊥PB，∴PE?2，AE?2，AF?2sin?，
1112sin2? EF?2cos?，VP?AEF?S?AEF?PE???2sin??2cos??2?3326∵0????2， ∴0?2???， 0?sin2??1∴ 当???4VP?AEF取得最大值为时，
2。 6策略五：展开体图法
例5. 如图3-1，四面体A-BCD的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面α分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S， A
C
则四边形PQRS的周长的最小值是（ ）
A. 2a
B. 2b
C. 2c
D. a+b+c
D
图5
【解析】如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各
B 侧面均为锐角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A与A’、D与D’在四面体中是同一点，且AD//BC//A'D'，AB//CD'，A、C、A’共线，D、B、D’共线，
AA'?DD'?2BD。又四边形PQRS在展开图中变为折线S’PQRS，S’与S在四面体中是同
一点。因而当P、Q、R在S’S上时，
A C R Q B S D′
A′
S'P?PQ?QR?RS最小，也就是四边形
S′ PQRS周长最小。又S'A?SA'，
所以最小值L?SS'?DD'?2BD?2b。故选B。 策略六 布列方程法
例6、棱长为2cm的正方形体容器盛满水，
把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没， 然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要
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