【课程讲义】
第三章 集中量数
【教学目标】
明确一批数据的特征包括两个方面的内容：集中趋势、离散性；明确集中量数是描述数据集中趋势的量数，可以作为一批数据的代表值；明确算术平均数是所有集中量数中运用最广泛、最优的量数；明确各种集中量数的含义、计算方法、使用条件、性质及优缺点。 【学习方法】
了解、理解、计算与应用。 【重点难点】
算术平均数的概念及适用条件；算术平均数的计算方法；中位数的概念及适用条件；中位数的计算方法。 【讲义内容】
前一章所讲的统计分组、统计表、统计图等，只是对研究工作中所获得的数据进行初步整理，其目的是对数据的性质、分布特征、差异情况及数据的一般规律有一直观和形象的认识。因此说这一步还不是应用统计方法的步骤。为了进一步发现和表示一组数据的规律性，需要计算出一些能够反映这组数据的统计特征的数字——称为统计量或特征数。对于一组数据来讲，最常用的统计量有两类。一类是表现数据集中性质或集中程度的，另一类是表现数据分散性质或分散程度的。数据的集中情况指一组数据的中心位置。集中趋势的度量，即确定一组数据的代表值。描述数据集中情况的统计量有多种，包括算术平均数、中数、几何平均数等。由于这些统计量的作用在于度量数据的集中趋势，因此它们都称为集中量数。本章主要介绍几种常用的集中量数。集中量数只描述数据的集中趋势和典型情况，它还不能说明一组数据的全貌。数据除典型情况之外，还有变异性的特点。对于数据变异性即离中趋势进行度量的一组统计量，称作差异量数，这些差异量数有方差、标准差、全距、平均差、四分差及各种百分差等等，下一章中将对常用的差异量数进行介绍。
第一节 算术平均数
一、算术平均数的概念和适用条件
（一）概念
算术平均数一般简称为平均数或均数（Mean）。只有在与其他几种集中量数如几何平均数、加权平均数相区别的时候，才把它叫做算术平均数。如果平均数是由X变量计算的，就记为X（读作X杠），若由Y变量求得，则记为Y。由于任何平均数都是由特定的变量计算而来，因此X或Y自然人便成为算术平均数的符号了。本书采用X或Y表示平均数。
算术平均数是一组同质数据值得总和除以数据总个数所得到的商，其计算公式为：
Xi?X?
N公式中∑Xi表示所有数据的和，即∑Xi =X1+X2+……+Xi；N为数据的个数。X为一组数据的算术平均数。
（二）适用条件
1．适用于同质数据。不同质的数据，不能计算算术平均数。
2．要求一组数据中每个数据都比较准确、可靠，若数据模糊不清，或分组资料又不确定组限时，不能计算算术平均数。
3．无极端值出现。因为算术平均数容易受极端数据的影响。 4．需要得到一个相对精确可靠的集中量数或进一步参与其他运算时。
二、算术平均数的计算方法
（一）、简单算术平均数的计算方法
直接用公式
X??Xi 求算术平均数。
N算术平均数的计算公式很易理解，就是将所有的数据相加，再被数据的个数除。
例1 某班选八名同学参加年级数学竞赛，成绩分别为82，90，95，88，90，94，80，93。求其平均成绩。
解：将X1=82，X2=90 X3=95 X N=8 代入公式（3.1）,得 X?
4=88 X5=90 X6=94 X7=80 X8=93，
?X82?90?95?88?90?94?80?80?93??89 N8（二）加权算术平均数的计算方法
在实际的教育测量或教育评价中，经常会遇到这样的情况，在计算算术平均数时，每个数据在其整体中的地位并不一样，即各个数据代表的事物在其整体中所占权重（重要程度）不同。像这种考虑到权重的不同而求出的算术平均数，即为加权算术平均数。
加权算术平均数是指一组数据中每个数据与其权重乘积的总和除以权重总和所得的商，用符号Xw表示。公式为：
Xw?W1X1?W2X2???WnXn?W1?W2???Wn?WX?Wiii
式中Wi为权数，所谓权数是指各变量在构成总体中的相对重要性，每个变量的权数大小，由观测者依据一定的理论或实践经验而定，虽然是可变的，但绝不是没有根据的。 在教育工作中，我们时常遇到对测量数据进行加权的情况。例如，在考试时教师共出 10道考题。由于各题的大小不同，难易程度不同．在满分为100的要件下．绝不是每题都以10分为满分，而是有的题5分，有的10分、20分，甚至30分。再如高校入学考试共包括语文、政治、外语、数学、物理、化学及生物7科，而计算总分时并不是各科平等，在语文、政治等科都以100为满分的情况下，数学定120分，生物定50分，也是考虑到各门学科的相对重要性而进行加权的结果。加权的道理不难理解，但有时却容易被人忽略。
由各小组平均数计算总平均数是应用加权平均数的一个特例。在心理与教育研究中，经常会遇到由各个平均数计算总平均数这类实际的统计计算问题。在这个问题中，可以把各小组的平均分数，视为该小组每个个体的分数，而把每个小组的人数，视为权数。
下面通过几个例子来说明家铨所属平均数的应用。
例２ 某年级四个班的学生人数分别为50人,52人,48人,51人,期末数学考试各班的平均成
心理统计学-课程讲义3
