2024高考数学一轮复习第六章不等式课时训练

2024年

【2024最新】精选高考数学一轮复习第六章不等式课时训练

第1课时 一元二次不等式及其解法

一、 填空题

1. 函数f(x)＝的定义域为__________．

答案：[－3，1]

解析：由3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1. 2. 不等式≥0的解集是 ____________．

答案：(－∞，－5]∪(1，＋∞)

解析：由≥0，得(x＋5)(x－1)≥0且x－1≠0，解得x≤－5或x>1.

3. 不等式2x2－x<4的解集为________．

答案：{x|－1＜x＜2}

解析：由题意得x2－x<2?－1

4. 不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．

答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)

解析：不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16＞0，∴ a＜－4

或a＞4.

5. 若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是

__________． 答案：(－2，2]

解析：原不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，①当m＝2时，对任意x不等式都成立；②当m－2<0时，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0，∴ －2

m∈(－2，2]．

6. 已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x

的解集用区间表示为________． 答案：(－5，0)∪(5，＋∞)

解析：由已知得f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，因此f(x)＝

不等式f(x)>x等价于或解得x>5或－5

7. 已知函数f(x)＝x2＋mx－1.若对于任意x∈[m，m＋1]都有f(x)＜0成立，则

实数m的取值范围是________．

答案：??－

?2?

，0?2?

解析：二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则

，0＜1－m2＋m2）＝m（f??

，0＜1）－1＋m（m＋2）1＋m）＝（1＋m（f??

?

解得－＜m＜0.

8. 已知f(x)＝则不等式f(x)

答案：{x|x<4}

解析：f(4)＝＝2，不等式即为f(x)<2，当x≥0时，由<2，得0≤x<4；当x<0

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时，由－x2＋3x<2，得x<1或x>2，因此x<0.综上，f(x)

实数a的取值范围是________．

?答案：∪??2，＋∞?

??

3

解析：∵ ?x使得(x－a)?(x＋a)＞1?(x－a)(1－x－a)＞1，即?x使得x2－x

－a2＋a＋1＜0成立，∴ Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＞0?4a2－4a－3＞0，解得a＞或a

＜－.

10. 已知f(x)＝则不等式f(x2－x＋1)<12的解集是________．

答案：{x|－1＜x＜2}

解析：由函数图象知f(x)为R上的增函数且f (3)＝12，从而x2－x＋1＜3，即

x2－x－2＜0，∴ －1＜x＜2.

二、 解答题

11. 已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.

(1) 解关于a的不等式f(1)＞0；

(2) 若不等式f(x)＞b的解集为{x|－1＜x＜3}，求实数a，b的值．

解：(1) 由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜

0，解得3－2＜a＜3＋2，

∴ 不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}． (2) ∵ f(x)＞b的解集为{x|－1＜x＜3}，

∴ 方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，

∴ 解得?

?a＝3±3，?b＝－3，

即a的值为3＋或3－，b的值为－3.

12. 已知a∈R，解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0. 解：原不等式等价于(ax－2)(x－2)>0，以下分情况进行讨论：

(1) 当a＝0时，x<2.

(2) 当a<0时，(x－2)<0，由<0<2知

(3) 当a>0时，(x－2)>0，考虑－2＝2·的正负：

① 当02，故x<2或x>；

② 当a＝1时，＝2，故x≠2； ③ 当a>1时，<2，故x<或x>2.

综上所述，当a<0时，该不等式的解集为；当a＝0时，该不等式的解集为{x|x

＜2}；当0

等式的解集为；当a≥1时，该不等式的解集为.

13. 已知不等式mx2－2x＋m－2＜0.

(1) 若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；

(2) 设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．解：(1) 对所有实数x，都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方，当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成

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立；当m≠0时，由二次函数的图象可知有解得m<1－，综上可知m的取值范围是(－

∞，1－)．

(2) 设g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一个以m为自变量的一次函数，由x2＋1>0知g(m)在[－2，2]上为增函数，则由题意只需g(2)<0即可，即2x2＋2－2x－2<0，解得0

线性规划

一、 填空题

1. 若点(m，1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是

____________． 答案：(1，＋∞)

解析：由2m＋3－5>0，得m>1.

2. 不等式组所表示的平面区域的面积为 _______________.

答案：4

1

解析：作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，

所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝.

3. 若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最大值为________．

答案：7

解析：由约束条件作出可行域，可知当过点(1，2)时z＝3x＋2y的最大值为7.4. 已知不等式组所表示的平面区域为D.若直线y＝kx－3与平面区域D有公共

点，则k的取值范围是________． 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)

解析：依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示，注意到y＝kx－3过定

点(0，－3)，∴ 斜率的两个端点值为－3，3，两斜率之间存在斜率不存在的情况，

∴ k的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．

5. 若x，y满足约束条件则z＝3x－4y的最小值为________．

答案：－1

解析：目标函数即y＝x－z，其中z表示斜率为k＝的直线系与可行域有交点时直线的截距值的，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点

A(1，1)处取得最小值z＝3x－4y＝－1.

6. 已知实数x，y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝

________． 答案：5

解析：画出可行域便知，当直线x－y－z＝0通过直线y＝2x－1与x＋y＝m的交

点时，函数z＝x－y取得最小值，

∴ －＝－1，解得m＝5.

7. 若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是________．

答案：10

解析：可行域如图所示，

设z＝x2＋y2，联立得由图可知，当圆x2＋y2＝z过点(3，－1)时，z取得最大

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值，即(x2＋y2)max＝32＋(－1)2＝10.

8. 若x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，则实

数a的取值范围是________．

答案：(－4，2)

解析：可行域为△ABC，如图，当a＝0时，显然成立．当a＞0时，直线ax＋2y

－z＝0的斜率k＝－＞kAC＝－1，a＜2.当a＜0时，k＝－＜kAB＝2，∴ a＞－4.综

合得－4＜a＜2.

9. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3

万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元．

A(吨) B(吨) 甲 3 1 乙 2 2 原料限额 12 8 答案：183x＋2y≤12，

??x＋2y≤8，

解析：设每天甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得?x≥0，

??y≥0，

目标函数z＝3x＋4y，

线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：

可得目标函数在点A处取到最大值．

由得A(2，3)，

则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．

10. 设m为实数，若{(x，y)|?{(x，y)|x2＋y2≤25}，则m的取值范围是

________． 答案：[0，]

解析：由题意知，可行域应在圆内，如图，如果－m>0，则可行域取到x＜－5的点，不在圆内，故－m≤0，即m≥0.当mx＋y＝0绕坐标原点旋转时，直线过B点时为

边界位置．此时－m＝－，∴ m＝，∴ 0≤m≤.

二、 解答题

11. 某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙

地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

解：设A型、B型车辆分别为x，y辆，相应营运成本为z元，则z＝1 600x＋2

??y≤x＋7，

400y.由题意，得x，y满足约束条件?36x＋60y≥900，

x≥0，x∈N，??y≥0，y∈N.

x＋y≤21，

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作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，

6)．

由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋

2 400y在y轴上的截距最小，即z取得最小值，

故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．12. 某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每

天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？

解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，

则线性约束条件为目标函数为z＝7x＋12y，作出可行域如图，

作出一组平行直线7x＋12y＝t，当直线经过直线4x＋5y＝200和直线3x＋10y＝

300的交点A(20，24)时，利润最大，即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，

利润总额最大，zmax＝7×20＋12×24＝428(万元)．

答：每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大．

x－4y＋3≤0，??

13. 变量x，y满足?3x＋5y－25≤0，

??x≥1.

(1) 设z＝，求z的最小值；

(2) 设z＝x2＋y2，求z的取值范围；

(3) 设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围． 解：由约束条件作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示．

??x＝1， 由?

?3x＋5y－25＝0，?

解得A. 由解得C(1，1)． 由解得B(5，2)． (1) ∵ z＝＝，

∴ z的值是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝.(2) z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可

知，可行域上的点到原点的距离中， dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝， 故z的取值范围是[2，29]．

(3) z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到

点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，

dmin＝1－(－3)＝4，

dmax＝＝8，

故z的取值范围是[16，64]．第3课时 基本不等式

一、 填空题