第22届全国部分地区大学生物理竞赛试卷答案
北京物理学会编印 2005.12.4
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做题说明：第一、二大题为必做题，满分为100分；少学时组只做必做题；非物理B组限做第三大题中的17题，满分110分；非物理A组限做第三大题中的17、18题，满分120分；物理组限做第三大题中的17、19题满分为120分。评奖时，将考生分为物理类组、非物理类A组、非物理类B组和物理少学时组，分别评奖。
一． 填空题（必做，12题，每题2空，每空2分，共48分）
G
1. v0= Im，ω=ImR ；2.A1=x0,A2=βx0+v0， a0=?β(βx0+2v0) ；
3．A=5cm ,
φ0=0.19π；4． 396m/s， 1584m/s；5． 一半， 2倍；
6．第一（或第一、二）定律，第二 定律；7 .Emin=8．背离另一根导线的方向，μ0I2/2πa；9．RAB=
εr3Uεr1U
，Emax=
εr1+εr3dεr1+εr3d
517R ，RAc=R 。 624
10．
θmin
v2
=2.237×10 rad (弧度)，S=89.4m.；11.m0 ，1?2m0；
c
?4
12．7.3×10(或5.8×10)m，3.7×10
?6?7?32
(或2.9×10?33)m。
二．基本计算题（必做，共4题，每题13分，共52分） 13． 解：引入相应参量，建立y轴，如图所示。木块平衡位置的动力学方程为
ρ1S(h+h')g=ρ2Shg （3分）
木块处于图示虚线位置时，有 Fy=ρ2S(h?y)g?ρ1S(h+h')g,
（
3
分
）
Fy=ρ1S(h+h')ay, （1分）
得 ay+
ρ2gρ1(h+h')
y=0 （1分）
g
y=0， （2分） h
用ρ1h替换ρ1(h+h')，即有 ay+
这是简谐振动方程，振动周期为 T=2πhg (3分)
1
14解：吸热量计算：
Q72νR×3T5
AB=0?2
νR×T0=8νRT0 （3分）
QVC
BC=νR×3T0ln
V=3νRT0ln3 （2分）B
Q吸＝QAB+QBC=νRT0(8+3ln3)
放热量计算：
QCD=QAB=8νRT0 （2
分）
QVD
DA=νRT0ln
V=νRT0ln3 （2分） A
Q放＝QCD+QDA=νRT0(8+3ln3)
η计算： η=1?Q放ln3
Q＝1－
8＋8+3ln3
=19.5% （4分）吸
15．解：
（1） p(t)=
u2(t)R, （1分）
T
=1T∫p(t)dt=1T
∫u2P(t)dt （1分）
0T0R
1 P=U
2
?1
T2
R,P=P?U=??T
∫
0
u2(t)dt?
??
（4分）
1（2）U=?1
∫T
2
?
?T0[ε10+ε20cos(ωt+φ)]2
dt??? （2分）1 =?
?1
T2
?T
∫0[ε210+2ε10ε20cos(ωt+φ)+ε22
?20cos(ωt+φ)]dt??
1 =??1
2
?T
[ε10T+
∫
Tε20
20cos2(ωt+φ)]dt??2
?
1
=1
21
2
?
2
???T[ε10T+2ε20T?
?
=ε2
1210+2
ε20 （3分）
=5V （2分）
2
16解：
（4分） （1）题解图中?S1QS2即为可产生光相干叠加的区域。
（2）在?S1QS2中取P点，从S经S1到P点的光程为 据题文知识复习，有 得
L1=LSA1B1S1+PS1
LSA1B1S1=LSO1S1（假想半透镜1下端延长一段后所得光程），
L1=LSO1S1+PS1，
同理，从S经S2到P点的光程为
L2=LSA2B2S2?PS2=LSO2S2?PS2
?L=L1?L2=(LSO1S1?LSO2S2)+(PS1+PS2)
，
L1与L2之间的光程差便为
因 即有?L
LSO1S1?LSO2S2=?S1S2
=L1?L2=?S1S2+(PS1+PS2) （6分）
PS1+PS2=常量
因S1S2为定值，相干叠加所成亮线必定是满足
的动点轨迹，即为（部分）椭圆曲线，S1、S2为椭圆的两个焦点。（3分） 17．解：R3球面（均匀带电Q的球面）电势：
UR3=Q
4πε0R3
（2分）
R2球面电势同于R3球面电势： UR2=UR3=QR1球面电势： UR1=∫
R2
4πε0R3
（2分）
Q4πε0r
R1
dr+UR2=2
Q4πε0
(
111
?+) （3分） R1R2R3
1Q2111WQUQUQU=+(?)+=(?+) （3分） 系统电势能：R3R2R1
28πε0R1R2R3
[] 3
18． 解：细杆旋转角速度记为ω0，转过θ角时角速度记为ω，参考题解图有
1112IPω2=ICω0,IP=IC+mr2,IC=ml2 223
解得：
ω=
ll+3r
2
2
ω0
vC=ωr=
ω0l
l2+3r2
r,r=Rθ （3分）
C点沿着圆的渐开线运动，切向加速度和法向（向心）
加速度分别为
dvCdvCdrdθω02l4RaC切＝==（2分）
dtdrdθdt(l2+3r2)2
aC心＝ωr=
2
ω02l2r
l+3r
2
2
（1分）
细杆受环的径向朝外弹力N和沿杆长方向摩擦力 f分别为 N=maC切，f=maC心 （2分） 摩擦因数取值范围便为
μ≥
af
=C心 NaC切
(l2+3r2)r4l
即得 μ≥>≥?μ> （2分） ,0lr
Rl2R
19．解：水和水汽的密度各记为ρ1和ρ2，t时刻水滴半径设成r，质量便是m=度记成v，经dt时间吸收的水汽质量dm=(πrvdt)ρ2，水汽速度v'=0。 据变质量系统动力学方程，有 mg=m
2
43
πrρ1。下落速3
dvdm
（2分） +v
dtdt
将各量代入后，可得 ρ1g=ρ1
dv312
+vρ2 （1） dt4r
dt时间内水滴半径增量记为dr，则有
2
2
ρ1drdvρ1d2r
,=4。 （2） (4πrdr)ρ1=(πrvdt)ρ2，得 v=4
ρ2dtdtρ2dt2
4
ρ2gd2r3?dr?=（2）代入（1）式，得2+?。 （3） （4分） ?
4ρ1r?dt?dt
dyd2rdr
引入y=，则有2=y，（3）式可形变为
drdtdt
y
2
dy32ρ2g
+y=
4ρ1drr
2
再引入u=y，又有y
dy1du
，上式形变为 =
dr2dr
ρgdu6
+u=2 （4）
2ρ1drr
?dr?
由（4）式，得??=y2=u的通解为
?dt?
266
?∫dr?ρg∫dr??dr?2r?r?,==+ueedrC??∫???dt??2ρ1?
2
C:积分常量
ρ2gC?dr?
r=+即得 ?。 ?6
14ρ1r?dt?
经过足够长时间，等号右边第二项与第一项相比，可以略去。同时，可略去t=0时刻的r0值，相继可得
2
ρ2gρgdr
r,r=2t2。 =
14ρ156ρ1dt
11
gt,a=g （4分） 77
将r~t关系式代入（2）式，即得 v=即水滴下落加速度趋于
g
这一稳定值。 7
5
第22届全国部分地区大学生物理竞赛试卷答桉
