极值点偏移1-4-第2招--含参数的极值点偏移问题
含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元x1,x2的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.
★例1. 已知函数f(x)?x?aex有两个不同的零点x1,x2，求证：x1?x2?2.
不妨设x1?x2，记t?x1?x2，则t?0,et?1，
2(et?1)et?1?0， ?2?t?t 因此只要证明：t?te?1e?1t再次换元令e?x?1,t?lnx，即证lnx?2(x?1)?0,x?(1,??) x?1构造新函数F(x)?lnx?'2(x?1)，F(1)?0 x?114(x?1)2??0，得F(x)在(1,??)上递增， 求导F(x)??x(x?1)2x(x?1)2所以F(x)?0，因此原不等式x1?x2?2获证.
2★例2. 已知函数f(x)?lnx?ax，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1,x2，证明：x1?x2?e.
法二：利用参数a作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设x1?x2，
∵lnx1?ax1?0,lnx2?ax2?0，∴lnx1?lnx2?a(x1?x2),lnx1?lnx2?a(x1?x2)， ∴
lnx1?lnx2?a，欲证明x1x2?e2，即证lnx1?lnx2?2.
x1?x22，
x1?x2∵lnx1?lnx2?a(x1?x2)，∴即证a?∴原命题等价于证明
lnx1?lnx2x2(x1?x2)x2?，即证：ln1?，令t?1,(t?1)，构造
x1?x2x1?x2x2x1?x2x2g(t)?lnt?2(t?1),t?1，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略. t?1法三：直接换元构造新函数：
a?lnx1lnx2lnx2x2x???,设x1?x2,t?2,(t?1)， x1x2lnx1x1x1lntx1lnt?lnx1?t??t， lnx1lnx1则x2?tx1,lntlnttlnt,lnx2?lntx1?lnt?lnx1?lnt??， t?1t?1t?1t?12lnt?2，转化成法二，下同，略. 故x1x2?e?lnx1?lnx2?2?t?1反解出：lnx1?
★例3.已知x1,x2是函数f(x)?e?ax的两个零点，且x1?x2. （1）求证：x1?x2?2； （2）求证：x1?x2?1.
x
ex1?ex2ex2?ex12x1x2?1，等价于e?e?((2)要证：x1x2?1，即证：)， a2x2?x1ex1?ex21ex2?x11也即x，等价于，令t?x2?x1?0 ??x12x2?x12222(e?e)(x2?x1)(e?1)(x2?x1)te1e12?2(t?0)，也等价于t?(t?0)，等价于即证：t?e?et?1?0 等价于t2(e?1)te?1ttt2ttt1tt令h(t)?t?e?e?1(t?0)，则h?(t)?e?t?e2?e?e2(1??e2)，
22tt2t2ttt1t22又令?(t)?1??e(t?0)，得??(t)???e?0，∴?(t)在(0,??)单调递减，
222?(t)??(0)?0，从而h?(t)?0，h(t)在(0,??)单调递减，∴h(t)?h(0)?0，即证原不等式成立.
【点评】从消元的角度，消掉参数a，得到一个关于x1,x2的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.
极值点偏移 第 招 含参数的极值点偏移问题
