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等比数列知识点总结与典型例题
1、等比数列的定义：2、通项公式：
an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?，首项：a1；公比：q qan?q?q?0??n?2,且n?N*?，q称为公比 an?1推广：an?amqn?m?qn?m?3、等比中项：
ana?q?n?mn amam（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A2?ab或A??ab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列?an?是等比数列?an2?an?1?an?1 4、等比数列的前n项和Sn公式：
（1）当q?1时，Sn?na1 （2）当q?1时，Sn??a1?1?qn?1?q?a1?anq 1?qa1a?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'（A,B,A',B'为常数） 1?q1?q5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的n，都有an?1?qan或an?1?q(q为常数，an?0)?{an}为等比数列 an（2）等比中项：an2?an?1an?1(an?1an?1?0)?{an}为等比数列 （3）通项公式：an?A?Bn?A?B?0??{an}为等比数列 6、等比数列的证明方法：
依据定义：若
an?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}为等比数列 an?17、等比数列的性质：
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（2）对任何m,n?N*，在等比数列{an}中，有an?amqn?m。
（3）若m?n?s?t(m,n,s,t?N*)，则an?am?as?at。特别的，当m?n?2k时，得an?am?ak2 注：a1?an?a2?an?1?a3an?2???
等差和等比数列比较：
定义 递推公式 通项公式 中项 A?等差数列 an?1?an?d 等比数列 an?1?q(q?0) anan?an?1q；an?amqn?m an?an?1?d；an?am?n?md an?a1?(n?1)d an?a1qn?1（a1,q?0） an?k?an?k2（n,k?N*,n?k?0） n(a1?an) 2G??an?kan?k(an?kan?k?0)（n,k?N*,n?k?0） Sn?前n项和 n(n?1)Sn?na1?d2 ?na1(q?1)? Sn??a11?qna1?anq?(q?2)?1?q?1?q??重要 性质
am?an?ap? aq(m,n,p,q?N* ,m?n?p?q)am?an?ap?aq (m,n,p,q?N*,m?n?p?q)经典例题透析
类型一：等比数列的通项公式
例1．等比数列{an}中，a1?a9?64, a3?a7?20,求a11.
思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组，解出a1和q，可得a11；或注意到下标1?9?3?7，可以利用性质可求出a3、a7，再求a11.
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总结升华：
①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；
②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.
举一反三：
【变式1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。
【变式2】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。
【变式3】已知等比数列{an}，若a1?a2?a3?7，a1a2a3?8，求an。
类型二：等比数列的前n项和公式
例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.
举一反三：
11【变式1】求等比数列1,,,的前6项和。
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【变式2】已知：{an}为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.
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【变式3】在等比数列{an}中，a1?an?66，a2?an?1?128，Sn?126，求n和q。
类型三：等比数列的性质
例3. 等比数列{an}中，若a5?a6?9,求log3a1?log3a2?...?log3a10.
举一反三：
【变式1】正项等比数列{an}中，若a1·a100=100; 则lga1+lga2+……+lga100=_____________.
827【变式2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为
32________。
类型四：等比数列前n项和公式的性质
例4．在等比数列{an}中，已知Sn?48，S2n?60，求S3n。
思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。
举一反三：
【变式1】等比数列{an}中，公比q=2, S4=1,则S8=___________.
【变式2】已知等比数列{an}的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求：S30=？
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【变式3】等比数列{an}的项都是正数，若Sn=80, S2n=6560，前n项中最大的一项为54，求n.
【变式4】等比数列{an}中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_____________.
【变式5】等比数列{an}中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。
类型五：等差等比数列的综合应用
例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.
思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.
总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为
xa-d, a, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为，x, xy。但还要就问题而言，这里解法二
y中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。
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等比数列知识点总结与典型例题+答案
