西安高新一中初中校区九年级上册期末精选试卷检测题
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．已知二次函数y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当b＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ①求a的值；
②求当a≤x≤b时，一次函数y＝ax+b的最大值及最小值； 【答案】①a的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9 【解析】 【分析】
①根据题意解一元二次方程即可得到a的值；
②根据a≤x≤b，b＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y＝﹣4x﹣3，根据函数的性质当
x＝﹣4时，函数取得最大值，x＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.
【详解】
解：①∵y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当b＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ∴4＝9×（﹣1）2﹣6a×（﹣1）+a2+3， 解得，a1＝﹣2，a2＝﹣4， ∴a的值是﹣2或﹣4； ②∵a≤x≤b，b＝﹣3 ∴a＝﹣2舍去， ∴a＝﹣4， ∴﹣4≤x≤﹣3， ∴一次函数y＝﹣4x﹣3，
∵一次函数y＝﹣4x﹣3为单调递减函数，
∴当x＝﹣4时，函数取得最大值，y＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13 x＝﹣3时，函数取得最小值，y＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9. 【点睛】
此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解a、b的关系得到函数解析式是解题的关键.
2．阅读以下材料，并解决相应问题：
材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在求解某些特殊方程时，利用换元法常常可以达到转化的目的，例如在求解一元四次方程
x4?2x2?1?0，就可以令x2?1，则原方程就被换元成t2?2t?1?0，解得 t ? 1，即
x2?1，从而得到原方程的解是 x ? ?1
材料二：杨辉三角形是中国数学上一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中出现，它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列，下图为杨辉三角形：
……………………………………
（1）利用换元法解方程：x2?3x?1?2x2?3x?1?3
（2）在杨辉三角形中，按照自上而下、从左往右的顺序观察， an 表示第 n 行第 2 个数（其中 n≥4），bn 表示第 n 行第 3 个数，cn表示第(n?1)行第 3 个数，请用换元法因式分解：4?bn?an??cn?1 【答案】（1）x?（n2-5n+5）2 【解析】 【分析】
（1）设t=x2+3x-1，则原方程可化为：t2+2t=3，求得t的值再代回可求得方程的解； （2）根据杨辉三角形的特点得出an，bn，cn，然后代入4（bn-an）?cn+1再因式分解即可． 【详解】
（1）解：令t=x2+3x-1 则原方程为：t2+2t=3 解得：t=1 或者 t=-3 当t=1时，x2+3x-1=1 解得：x???2???3?17?3?17 或x? 或x=-1或x=-2；（2）4?bn?an??cn?1=22?3?17?3?17 或x? 22当t=-3时，x2+3x-1=-3 解得：x=-1或x=-2 ∴方程的解为：x??3?17?3?17 或x? 或x=-1或x=-2 22（2）解：根据杨辉三角形的特点得出： an=n-1
bn?(n?1)(n?2) 2cn?(n?2)(n?3)
2∴4（bn-an）?cn+1=（n-1）（n-4）（n-2）（n-3）+1=（n2-5n+4）（n2-5n+6）+1 =（n2-5n+4）2+2（n2-5n+4）+1=（n2-5n+5）2 【点睛】
本题主要考查因式分解的应用．解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．
3．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．
小张：“该商品的进价为 24元/件．”
成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”
成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？ 【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件 【解析】 【分析】
设每件商品定价为x元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是
?480?20(x?40)?件，每件商品的利润是(x?24)元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是?480?40(40?x)?件，每件的利润是(x?24)元，从而可以得到答案．
【详解】
解：设每件商品定价为x元．
①当x≥40时，(x?24)?480?20(x?40)??7680 ， 解得：x1?40,x2?48;
②当x?40时，(x?24)?480?40(40?x)??7680， 解得：x1?36,x2?40（舍去），.
答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件． 【点睛】
本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．
4．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上． ①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P（﹣2﹣1，2）；②P（﹣【解析】
试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为x??1即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；
②S四边形ABCP=SΔOBC?SΔAPD?S梯形PDOC，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
2试题解析：（1）∵抛物线y?ax?bx?c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于
315 ，） 42a??1{c?3点C（0，3），其对称轴l为x??1，∴，解得：{b??2，∴二次函数的
bc?3???12a解析式为y??x?2x?3=?(x?1)?4，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
2（2）令y??x?2x?3?0，解得x??3或x?1，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作
22a?b?c?0PD⊥x轴于点D，∵点P在y??x2?2x?3上，∴设点P（x，?x2?2x?3）， ①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即y??x2?2x?3?2，解得x=2?1（舍去）或x=?2?1，∴点P（?2?1，2）；
②设P(x，y)，则y??x2?2x?3，∵S四边形ABCP=SΔOBC?SΔAPD?S梯形PDOC =
111111OB?OC+AD?PD+(PD+OC)?OD=?3?1+?(3?x)y?(y?3)(?x)=222222333?x?y 222=
333393375?x?(?x2?2x?3)=?x2?x?6=?(x?)2?， 222222283375152时，S四边形ABCP最大值=，当x=?时，y??x?2x?3=，此时P
4822∴当x=?
（?315，）． 42
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
5．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形．
探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍． 因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2， 所以EF＝FG＝GH＝HE＝2，设EB＝x，则BF＝2﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC ∴BF＝AE＝2﹣x
在Rt△AEB中，由勾股定理，得 x2+（2﹣x）2＝12 解得，x1＝x2＝
2 2∴BE＝BF，即点B是EF的中点．
同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．
所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍
探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）
探究三：已知边长为1的正方形ABCD， 一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）
探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方
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