GMm4π2r34π2
地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有2＝m2r，所以M＝，地
rTGT2Gmm0gR24π2r3
球表面物体m0的重力来源于万有引力，有2＝m0g，所以G＝，把G代入M＝，
mRGT24π2r34π2r3m
得M＝2＝22，D正确。
gR2gRTmT总结升华
估算天体质量和密度时应注意的问题
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密4
度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。
3
[递进题组]1.若已知月球绕地球运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球的轨道半径为r，它绕地球运动的周期为T，引力常量是G，由此可以知道( ) π2r3
A．月球的质量m＝2 GT4π2r3
B．地球的质量M＝
GT2C．月球的平均密度ρ＝
3π GT2
3π GT2
D．地球的平均密度ρ′＝答案 B
GMmm·4π24π2r3
解析 对月球有2＝2r，可得地球质量M＝，月球质量无法求出，其密度也无rTGT2法计算，故B正确，A、C错误；因不知道地球自身半径，故无法计算密度，故D错误。 2．[2017·唐山一模]美国航天局与欧洲航天局合作，发射的火星探测器已经成功登录火星。荷兰企业家巴斯兰斯多普发起的“火星一号”计划打算将总共24人送上火星，创建一块长期殖民地。若已知万有引力常量G，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出火星密度的是( )
A．在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间t B．火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，测出运行周期T
C．火星探测器在高空绕火星做匀速圆周运动，测出距火星表面的高度H和运行周期T D．观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的直径D和运行周期T 答案 B
GMmM3g1
解析 由2＝mg，ρ＝得：ρ＝，由H＝gt2 得出g，却不知火星半径，A错
R434πGR2
πR3GMmM3πr34π23π误。由2＝m2r，ρ＝得：ρ＝23。当r＝R时ρ＝2，B正确，不知火星半径，
rT43GTRGT
πR3C错误。D选项中心天体是太阳，据给出的数据无法计算火星质量，也就不能计算火星密
.
度，故D错误。
考点3 人造卫星的运动规律 [深化理解]
1．人造卫星的运动规律
(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。 (2)两条思路
Mm
①万有引力提供向心力，即G2＝ma。
r
②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即
GMm
＝mg或gR2＝GM(R、g分别是R2
天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。 (3)地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)
物理量 线速度 角速度 周期 向心 加速度 轨道 平面 2．地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86400 s。 (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
.
推导依据 v2MmG2＝mr rMmG2＝mω2r r2π?2MmG2＝m??T?r rMmG2＝ma向 r表达式 v＝ ω＝ T＝2π GMr GM r3r3 GMkm/s 最大值或最小值 当r＝R时有最大值，v＝7.9 当r＝R时有最大值 当r＝R时有最小值，约85 min 当r＝R时有最大值，最大值为a＝g GMa向＝2 r圆周运动的圆心与中心天体中心重合 共性：半径越小，运动越快，周期越小
3GMT2Mm4π2
4
(4)高度一定：据G2＝m2r得r＝ 2＝4.23×10 km，卫星离地面高度h＝r－rT4πR≈6R(为恒量)。
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。 3．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。 (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
例3 [2017·广东深圳一模]人造卫星a的圆形轨道离地面高度为h，地球同步卫星b离地面高度为H，h R＋h R＋H R3 ?R＋h?3 R＋H C．b、c向心加速度大小之比为R D．a下一次通过c正上方所需时间等于t＝2π?R＋h?3 gR2 . (1)怎样比较人造卫星a和同步卫星b的线 速度、角速度、向心加速度？ v2mM 提示：万有引力提供向心力G2＝mr＝mω2r＝ma。 r(2)什么时候人造卫星a会再次通过c的正上方？ 提示：人造卫星转过的角度与c物体随地球自转转过的角度之差等于2π时，a会再次通过c的上方，即ωat－ωct＝2π。 尝试解答 选C。 卫星绕地球做匀速圆周运动，建筑物随地球自转做匀速圆周运动，当卫星转过的角度与建筑物转过的角度之差等于2π时，卫星再次出现在建筑物上空。绕地球运行的卫星，万有引v2Mm 力提供向心力，设卫星的线速度为v，则G2＝mr，所以v＝ r线速度大小之比为所以有 ωa ＝ ωb GMr，可知a、b卫星的 GM，r3 R＋HMm ，故A错误；设卫星的角速度为ω，G2＝mω2r，得ω＝ rR＋h ?R＋H?3，又由于卫星b的角速度与物体c的角速度相同，所以ωa＝ ?R＋h?ωc?? ?R＋H?3，故B错误；根据a＝ω2r可得ab＝R＋H，故C正确；设经过时间t卫星a再 ?R＋h?acR?? 次通过建筑物c上方，有(ωa－ωc)t＝2π，得t＝ 2π ＝ ωa－ωc 2π GM － ?R＋h?3 GM?R＋H?3 ＝ 2π gR2－ ?R＋h?3总结升华 ，故D错误。 gR2?R＋H?3 人造卫星问题的解题技巧 (1)利用万有引力提供向心加速度的不同表述形式。 v22π?2Mm G2＝man＝mr＝mω2r＝m?r＝m(2πf)2r。 T??r . (2)第一宇宙速度是人造卫星环绕地球表面运行的最大速度，轨道半径r近似等于地球半径 v＝ GM ＝7.9 km/s R 万有引力近似等于卫星的重力，即 v2 mg＝mR，v＝Rg＝7.9 km/s (3)同步卫星：抓住①具有特定的线速度、角速度和周期。②具有特定的位置高度和轨道半径。③运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方特定的点上。 比较卫星与地球有关的物理量时可以通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。如例题中C选项求卫星a与地面建筑物c的角速度的比值。 [跟踪训练] [2017·湖北七市一模]嫦娥三号携带玉兔号月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测。玉兔号在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2；地球与月球均视为球体，其半径分别为R1、R2；地球表面重力加速度为g。则( ) A．月球表面的重力加速度为 gG1 G2 G2R22 B．地球与月球的质量之比为 G1R21C．月球与地球的第一宇宙速度之比为 G1R1 G2R2 G1R2 G2g D．嫦娥三号环绕月球表面做匀速圆周运动的周期为2π 答案 D G1G2gG2 解析 玉兔号的质量为m＝g，所以月球表面的重力加速度为g′＝m＝，A错误；根 G1据黄金代换公式 GM＝gR2，可得 M地gR2G1R211 ＝＝，B错误；第一宇宙速度 v＝gR，所 G2R2M月g′R222 G2R2 ，C错误；根据万有引力提供向心G1R1 v2 以在月球上与地球上的第一宇宙速度之比为＝ v1 Mm4π2 力G2＝m2r，嫦娥三号环绕月球表面做匀速圆周运动，所以轨道半径等于月球半径R2， rT代入得T＝2π G1R2，D正确。 G2g 考点4 航天器的变轨问题 [拓展延伸] .
高考物理一轮复习讲义第四章第讲万有引力与航天含答案
