北京航空航天大学
2024－2024学年第一学期期中
试卷
考试课程 工科数学分析 (I) 任课老师__________________
班级 学号 姓名
题号 成绩 阅卷人 校对人 一 二 三
四 五 六 七 八 总分 2024年11月24日
一．(本题20分，每小题4分)单项选择题。
1. 设数列?an?收敛，数列?bn?发散，以下论断正确的是( B ) (A) 数列?an?bn?一定是收敛的。 (B) 数列?an?bn?一定是发散的。 (C) 数列?an?bn?一定是收敛的。 (D) 数列?an?bn?一定是发散的。
2. 已知函数f:[a,b]?[c,d]，函数g:[c,d]?[?,?]，以下论断正确的是( C ) (A) 如果y?f(x)在x0?(a,b)处不连续，z?g(y)在y0?f(x0)?(c,d)处连续，
则复合函数z?g(f(x))在x0?(a,b)处必定不连续。
(B) 如果y?f(x)在x0?(a,b)处不连续，z?g(y)在y0?f(x0)?(c,d)处不连续，
则复合函数z?g(f(x))在x0?(a,b)处必定不连续。
(C) 如果y?f(x)在x0?(a,b)处连续，z?g(y)在y0?f(x0)?(c,d)处连续，则复
合函数z?g(f(x))在x0?(a,b)处必定连续。
(D) 如果y?f(x)在x0?(a,b)处连续，z?g(y)在y0?f(x0)?(c,d)处不连续，
则复合函数z?g(f(x))在x0?(a,b)处必定连续。
2)?( D )
n??n?1(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4
3. 已知连续曲线y?f(x)与y?ln(1?2x)在原点相切, 则limnf(
4. 设函数y?y(x)由方程xef(y)?eyln2024确定, 其中f具有二阶导数, f??1, 则dy?( A ) (A)
f(x),f(1)?3,则f(2)?( D ) x(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 6
dx1dx1 (B) (C) f(y) (D) f(y)
e(1?f?(y))e(1?f?(y))x(1?f?(y))x(1?f?(y))5. 已知f(x)可导, 且f?(x)? 1
二．(本题30分，每小题5分)计算、证明题：
11. 求数列极限 lim(n!)n2n??.
11解 因为1?n!?nn,故1?(n!)n2?nn,由夹逼定理可知极限为1
12. 求函数极限 lim?sinx?x2x?0??x??. 解 lim1?sinx?sinx?x?0x2??x?1???limxx?0x3?limcosx?1x?03x2??16. 1lim?sinx?x2 ?16x?0??x???e
3. 已知参数方程???x?et?t,dyd2y??y?et?sint,t?[1,??)，求dx,dx2. 解 dx?etdydt?1,dt?et?cost, dyet?costdx?et?1 d2ydx2?dy?dtd?et?cost?dtdtdx?dt??et?1??dx(et?sint)(et?1)?et?(et?cost)(sint?cost?1)et?sint(et?1)3?(et?1)3 4. 设y?x2sin3x，求y(10).
解 y(10)?(x2sin3x)(10)?x2(sin3x)(10)?10?2x?(sin3x)(9)?45?2?(sin3x)(8)?x2?310sin(3x?10????2)?10?2?39x?sin(3x?9?2)?45?2?38sin(3x?8?2)
??310x2sin3x?20?39x?cos3x?90?38sin3x
5. 计算函数f(x)?e1?cosx的Maclaurin公式直到x4项
x?1?x2x4解 cos2!?4!?o(x4)
2
x2x41?cosx???o(x4)2!4!f(x)?e1?cosx?1?(1?cosx)?1(1?cosx)2?o((1?cosx)2)2!2?x2x4?1?x2x44??1????o(x)?????o(x4)??o(x4)?2!4!?2!?2!4!?x211 ?1??(??)x4?o(x4)2!4!8x2x4?1???o(x4)212?(tanx?sinx)f(x),x?0?2xg(x)?,其中f(0)?0,f'(0)?0.判断函数g(x)6. 设??f'(0),x?0?在x?0处是否连续？若它在x?0处不连续，请指出间断点的类型.
(taxn?解 limx?0xsxinf)x()?lim2x?0?xtanxxsinf?xlim?x0x(f)(0)?f?2?f(?0)
(0)所以函数g(x)在x?0处不连续，且为第一类间断点（可去间断点） 三．
(本题6分) 用定义证明函数f(x)?11sin在区间[1,??)上一致连续。 xx证明： ?x1,x2?[1,??),
|f(x1)?f(x2)|?111111111111sin?sin?sin?sin?sin?sinx1x1x2x2x1x1x2x1x2x1x2x2?x1?x2111???2x1?x2， x1x2x2x1x2所以,?x1,x2?[1,??),|f(x1)?f(x2)|?2x1?x2
1???0, 取???,则?x1,x2?[1,??)且x1?x2??时, |f(x1)?f(x2)|??
2四．(本题10分) 设数列?xn?满足：x1?0,xn?1?sinxn?0,n?1,2,1) 证明数列{xn}收敛, 并求其极限值; 2) 指出?xn?的下确界，并证之;
.
nxn. 3) 求极限limn??
3
2证明：xn?1?sinxn?xn,所以数列{xn}单调递减，且有下界为0, 根据单调有界
xn?A,则A?sinA,?A?0. 定理可知数列{xn}收敛。设limn??xn?0,???0,?N?0,使n?N时,有0?xn??. 2） inf?xn??0.因为limn??222xnxn?1(sinxn?1)2xnn1?1limnx?lim?lim?lim2?lim222n??1n??1n??xn??x13）n?? ?x?(sinx)n?1nn?1n?1?222xnxnxn?12n(sinx)2x2x4x31?lim2?lim?lim?3 x?0x?(sinx)2x?0(x?sinx)(x?sinx)2x?0x?sinx五．(本题8分) 设数列?xn?如下：
xn?cos1!cos2!??1?(1?1?cos1!)2?(2?1?cos2!)?cosn!,n?1,2,n?(n?1?cosn!)
试证明?xn?是基本列.
cos(n?1)!cos(n?2)!?(n?1)?(n?1?1?cos(n?1)!)(n?2)?(n?2?1?cos(n?1)!)证明：xn?p?xn?
cos(n?p)!??(n?p)?(n?p?1?cos(n?1)!)111???(n?1)?(n?1)(n?2)?(n?2)(n?p)?(n?p)111????(n?1)?n(n?2)?(n?1)(n?p)?(n?p?1)
111111???????nn?1n?1n?2n?p?1n?p111???nn?pn??1?故对???0,?N????1,使n?N时,对任意的p?N*,有xn?p?xn?? 结论得证.
???六．(本题8分) 已知函数f(x)?xex,试求该函数的单调区间、极值点与极值、凹凸区间和拐点(请列表).
解 f?(x)?(1?x)ex,令f?(x)?0,解得x??1
f??(x)?(2?x)ex,令f??(x)?0,解得x??2
4
2024-2024-北航工科数分期中试题解答 - 图文
