1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)设方程x yy确定y是x的函数,则dy ________________ .
1
⑵ 设 xf(x)dx arcsinx C ,则 --------- dx
f(x)
⑶设xo, yo是抛物线y ax2 bx c上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满 足的关系是 ________________ .
⑷设
1 1
a1 a；
A a； a
；
1
as a；
L 1 L an
L a； ,X
x
1
x； X3 ,B
1 1 , M 1
M
M
n 1
M
n 1
M
n 1
M
其中3i
aj(i j；i,j
L an a1 aas
；
戋性方程A X 12L ,n).则纟 组
n 1
x
的解是 B
⑸设由来自正态总体X ~ N( ,0.92)容量为9的简单随机样本，得样本均值X 5,则 未知参数的置信度为的置信区间为 _______________ .
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
cos
(1)累次积分；d
0
0
f (rcos ,rsin )rdr可以写成()
1
1
\\y y；
v1 y； #X X；
(A) ody o
1 1
f (x, y)dx (B) ody o f(x,y)dx
1
(C) odx o f(x,y)dy (D) odxo f(x,y)dy
(2)下述各选项正确的是()
(A) 若 U；和 V；都收敛，则(Un vn)2收敛
n 1
n 1
n 1
(B)
n 1
UnVn收敛,则 U；与 V；都收敛
n 1
n 1
(C) 若正项级数 Un发散,则Un -
n 1
n
(D) 若级数 vn也收敛
n 1
n 1
un收敛,且Un Vn(n 1,2,L ),则级数
⑶设n阶矩阵A非奇异(n 2), A是矩阵A的伴随矩阵,则()
(A) (A)
z _ x
A A
n 2
A(B)(A) |A A A(D) (A)
| n 2
(C) (A ) A A
(4)设有任意两个n维向量组1丄,m和1丄，m,若存在两组不全为零的数1丄，m
和 K丄，km,使(1
kJ 1 L ( m
km)
m
( 1
匕)1 L ( m
W)
m
0,则
(
⑸ 已知o P(B) 1且P[ A, A2 B] P(A|B)P(A2B),则下列选项成立的是()
(A) P[ A A2 |B] P(A|B) P(A|B) (B) P AB A2B (C) (D)
A A2
P(AB) P(AeB) P(A B)
P(A2 B) P(A2)P(B A2)
B P A P(B A)
、(本题满分6分) f(x)
g(x) ex 设
x 0,
0,
其中g(x)有二阶连续导数，且g(0)
1,g (0) 1.
0,
)
,
(A) 丄
1
1
,L , m都线性相关
仃
(B) 1,L , m 和- l,L , m都线性无关 (C) (D)
1
1
,L , m ,L , m
m
, ,
1 1
,L , m ,L , m
m
线性无关 线性相关
1
1m1 1
m
(1)求 f (x)；
(2)讨论f (x)在(
四、(本题满分6分)
)上的连续性.
x
设函数z f(u),方程u (u) p(t)dt确定U是x,y的函数,其中f(u), (u)可
y
微；p(t),
(U)连续,且(U)
1.求 p(y)上 p(x)二.
x y
五、(本题满分6分)
xe
x
六、 (本题满分5分)
i
设f(x)在区间［0,1］上可微，且满足条件f(1) 2［xf(x)dx.试证：存在 (0,1)使 七、 (本题满分6分)
设某种商品的单价为p时,售出的商品数量Q可以表示成Q a、b
c均为正数,且a be.
(1)求p在何范围变化时，使相应销售额增加或减少
(2)要使销售额最大,商品单价p应取何值？最大销售额是多少？ 八、(本题满分6分)
求微分方程也 y M2 y2的通解.
dx x 九、(本题满分8分)
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 y 1 0 0 1 2
c,其中
设矩阵A
(1)已知A的一个特征值为3,试求y ; (2)求矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵. 十、(本题满分8分)
设向量1, 2丄,t是齐次线性方程组AX 0的一个基础解系,向量 不是方程组 AX 0的解，即A 0 .试证明：向量组 十 、(本题满分7分)
t
线性无关.
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