2024_2024学年新教材高中数学第1章预备知识4一元二次函数与一元二次不等式4.3一元

4.3 一元二次不等式的应用

学 习 目 标 核 心 素 养 掌握一元二次不等式解法的实际应用．(重点、通过一元二次不等式解法的实际应用，培养数难点) 学建模素养．

1．分式不等式的解法

类型 同解不等式 ???ax＋b>0?ax＋b<0?法一：，或?； ???cx＋d>0?cx＋d<0ax＋b>0 cx＋d(其中a，b，c，d为常数) 法二：(ax＋b)(cx＋d)>0. 法一：??ax＋b≥0???cx＋d>0ax＋b≥0 cx＋d(其中a，b，c，d为常数) ，或??ax＋b≤0???cx＋d<0； ?(ax＋b)(cx＋d)≥0法二：?. ?cx＋d≠0先移项转化为ax＋b>k cx＋d(其中a，b，c，d，k为常数) (a－ck)x＋(b－kd)cx＋d>0，再求解 对于分式不等式的其他类型，可仿照上述方法求解． 思考：已知集合A＝? x|

?

???

?x＋a?x＋a?

>0?，则集合?RA与? x|≤0?相等吗？ x＋b?x＋b??

?x＋a≤0或x＋b≠0?. x＋b?

提示： 不相等，?RA＝? x|

2．建立一元二次不等式模型的步骤

(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系). (3)解不等式(或求函数的最值). (4)回扣实际问题．

1．设全集I＝R，M＝{x|x>4}，N＝{x|为( )

2

2

≥1}，如图，则图中阴影部分所表示的集合x－1

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A．{x|x<2} C．{x|－2≤x≤2}

B．{x|－2

D [图中阴影部分就是M的补集与N的交集，先化简集合M和N，通过运算可知应选D.] 2．不等式(x－7x＋12)(x＋x＋1)＞0的解集为( ) A．(－∞，－4)∪(－3，＋∞) B．(－∞，3)∪(4，＋∞) C．(－4，－3) D．(3，4)

2

2

?1?2322

B [∵x＋x＋1＝?x＋?＋＞0恒成立．∴原不等式等价于x－7x＋12＞0，

?2?4

∴不等式的解集为{x|x＜3或x＞4}．]

3．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x(0

2

*

总体)的最低产量是( )

A．100台 C．150台

B．120台 D．180台

2

2

C [由题意知：利润为25x－(3000＋20x－0.1x)＝0.1x＋5x－3000， 由0.1x＋5x－3000≥0，得x≥150或x≤－200(舍去)，故选C.]

4．一服装厂生产某种风衣，月产量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P＝160－2x，生产x件的成本总数R＝500＋30x(元)，假设生产的风衣当月全部售出．试问该厂的月产量为多少时，每月获得的利润不少于1 300 元？

[解] 设该厂月获得的利润为y元，则

2

y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80).

由题意知y≥1 300，

所以－2x＋130x－500≥1 300，解得20≤x≤45.

所以当月产量在20至45件(包括20和45)之间时，月获得的利润不少于1 300元．

2

分式不等式的解法

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【例1】 解不等式

x＋1

x≤3. [思路点拨] 先移项并通分，再利用商的符号法则将其转化为整式不等式． [解] 原不等式可化为x＋11－2xx－3≤0，即x≤0， ∴

2x－1

x≥0，

∴???x（2x－1）≥0，

? ?

x≠0，解得x≥1

2

或x<0.

故原不等式的解集为{x|x≥1

2

或x<0}．

分式不等式一般解题步骤

(1)移项并通分，不等式右侧化为“0”； (2)转化为同解的整式不等式； (3)解整式不等式．

[跟进训练] 1．不等式

x－2

x－1

≥0的解集是( ) A．[2，＋∞) B．(－∞，1]∪(2，＋∞) C．(－∞，1)

D．(－∞，1)∪[2，＋∞)

D [原不等式可化为???（x－2）（x－1）≥0

??

x－1≠0

解得x≥2或x＜1，

故原不等式的解集为(－∞，1)∪[2，＋∞).]

不等式恒成立问题 [探究问题]

设y＝ax2

＋bx＋c，x∈R，

1．若y>0恒成立，则y＝ax2

＋bx＋c，x∈R的图象有什么特征？ 提示：在x轴上方．

2．若y>0恒成立，则a，b，c需要满足什么条件？

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