2024年全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编(三)圆中的计算和证明综合(解析版)

2024全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编

三、圆中的计算和证明综合题

?上1.（2024福建）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是??????不与B，D重合的点，sinA=2． （1）求∠BED的大小；

（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3√3，求证：DF与⊙O相切．

1

【解答】解：（1）连接OB，如图1， ∵AB与⊙O相切于点B， ∴∠ABO＝90°，

1

2∵sinA=，

∴∠A＝30°，

∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，

1

∴∠BED=2∠BOD＝60°；

！

（2）连接OF，OB，如图2， ∵AB是切线， ∴∠OBF＝90°， ∵BF＝3√3，OB＝3， ∴??????∠??????=????=√3， ∴∠BOF＝60°， ∵∠BOD＝120°， ∴∠BOF＝∠DOF＝60°， 在△BOF和△DOF中， ????=????

{∠??????=∠??????， ????=????

∴△BOF≌△DOF（SAS）， ∴∠OBF＝∠ODF＝90°， ∴DF与⊙O相切．

????

2.（2024贵州铜仁）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD． （1）求证：CD是⊙O的切线；

????????

12

（2）若AD＝8，=，求CD的长．

【解答】（1）证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°，

∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°， ∴∠A＝∠ECB， ∵∠BCE＝∠BCD， ∴∠A＝∠BCD，