∵直线BD的解析式为∴∠PBA＝∠PDG＝30°， ∵AB＝4， ∴AP＝
，
）；
，
∴点P的坐标为（﹣1，
（3）当点A的对应点A'落在△ECB的边所在直线上时， AB＝4，AC＝2，BC＝2
，OC＝OE＝
，
∴∠ACB＝90°，∠ABC＝∠EBO＝30° ①点A'落在BE边所在直线上时，
BC＝BC′＝2
，则点C′（3﹣2
，0）；
②点A'落在CE边所在直线上时，
过点C′作y轴的平行线分别交过点A′与y轴的垂线、x轴于点F、H， 设点C′（m，n）， ∵△C′FA′∽△BHC′，
，
其中，C′F＝
＝
，
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BH＝3﹣m，C′A′＝2，BC
＝
＝
，解得：m＝
，FA′＝﹣m，HC′＝n，
，n＝
，
点C′（，）；
③点A'落在BC边所在直线上时，
同理可得点C′（3+故点C′（3﹣2
，3）；
，
）或（3+
，3）．
，0）或（
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形等知识，其中（3）要考虑全面情况，避免遗漏，本题难度较大．
7．二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．
（1）a＝ 1 ，c＝ ﹣3 ；
（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求小值；
（3）如图2，点M在抛物线上，若S△MBC＝3，求点M的坐标．
PD+PC的最
【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组即可即可；
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（2）如图1中，作PH⊥BC于H．由DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），DH′；
根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为
（3）如图2中，取点E（1，0），作EG⊥BC于G，易知EG＝EG＝?3
．由S△EBC＝?BC?
＝3，
＝3，推出过点E作BC的平行线交抛物线于M1，M2，则
＝3，求出直线M1M2的解析式，利用方程组即可解决问题，同法求出M3，M4
的坐标．
【解答】解：（1）把C（3，0），B（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c 得到，
，解得
．
故答案为1，﹣3．
（2）如图1中，作PH⊥BC于H．
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°， ∴∠PCH＝45°， 在Rt△PCH中，PH＝∵
DP+PC＝
（PD+
PC． PC）＝
（PD+PH），
DP+PC最小，最小值为
DH′，
根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时
在Rt△DH′B中，∵BD＝4，∠DBH′＝45°， ∴DH′＝∴
BD＝2，
?2
＝4．
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DP+PC的最小值为
（3）如图2中，取点E（1，0），作EG⊥BC于G，易知EG＝
．
∵S△EBC＝?BC?EG＝?3
＝3，
＝3，
＝3，
∴过点E作BC的平行线交抛物线于M1，M2，则∵直线BC的解析式为y＝x﹣3， ∴直线M1M2的解析式为y＝x﹣1，
由解得或，
∴M1（，），M2（，），
根据对称性可知，直线M1M2关于直线BC的对称的直线与抛物线的交点M3、M4也满足条件，
易知直线M3M4的解析式为y＝x﹣5， 由
解得
或
，
∴M3（1．﹣4），M4（2，﹣3），
综上所述，满足条件的点M的坐标为∴M1（M3（1．﹣4），M4（2，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、垂线段最短、平行线的性质、轴对称、一次函数的应用、二元一次方程组等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值
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，），M2（，），
问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题． 8．已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣
x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒
个
单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
【分析】（1）根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，进而求出直线AD的解析式，接着求出点D的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式确定a的值； （2）待定系数法得到直线AC的解析式为y＝得到直线CP的解析式为：y＝﹣AP的解析式为：y＝﹣
x﹣
x+3
x+3
，根据已知条件得到①CP⊥AC，
，根据已知条件得到②AP⊥AC，得到直线
，解方程组即可得到结论；
（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q的运动时间t＝BE+EF时，t最小即可． 【解答】解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），
∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0）， ∵直线y＝﹣∴b＝﹣3
x+b经过点A，
，
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2024年中考复习练习胡不归问题专题训练含答案解析
