（2）方法一：
过点E作EN⊥y轴于N，如图3． 在Rt△ANE中，EN＝AE?sin45°＝∴点M在整个运动中所用的时间为
AE，即AE＝+
EN，
＝DE+EN．
作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，
则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°， ∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN． 根据两点之间线段最短可得：
当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小． 此时，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°， ∴四边形OCD′N是矩形，
∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC． 对于y＝x2﹣x+3，
当y＝0时，有x2﹣x+3＝0， 解得：x1＝2，x2＝3． ∴D（2，0），OD＝2，
∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1， ∴NE＝AN＝AO﹣ON＝3﹣1＝2， ∴点E的坐标为（2，1）． 方法二：
作点D关于AC的对称点D′，DD′交AC于点M，显然DE＝D′E， 作D′N⊥y轴，垂足为N，交直线AC于点E，如图4， 在Rt△ANE中，EN＝AE?sin45°＝
AE，即AE＝
EN，
∴当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小， ∵A（0，3），C（3，0）， ∴lAC：y＝﹣x+3，
∴M（m，﹣m+3），D（2，0），
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∵DM⊥AC，∴KDM×KAC＝﹣1， ∴﹣1×
，
∴m＝，∴M（，）， ∵M为DD′的中点， ∴D′（3，1）， ∵EY＝D′Y＝1， ∴E（2，1）．
方法三：如图，5，过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E． ∵A（0，3），C（3，0）， ∴lAC：y＝﹣x+3．
∵OA＝OC，∠AOC＝90°， ∴∠ACO＝45°， ∵AF∥OC， ∴∠FAE＝45°． ∴EF＝AE?sin45°＝
．
+
∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t＝＝DE+EF，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，且C（3，0）， ∴可求得D点坐标为（2，0）
则E点横坐标为2，将x＝2代入lAC：y＝﹣x+3．，得y＝1． 所以E（2，1）．
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【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第（Ⅱ）（1）小题的关键，把点M运动的总时间转化为DE+EN是解决第（Ⅱ）（2）小题的关键．
6．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣轴交于点E，且DE：BE＝2：3． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P为线段BD上一点（不含端点），连接AP，一动点M从点A出发，沿线段AP以每秒1个单位的速度运动到P，再沿线段PD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点P的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
（3）将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°），当点A的对应点A'落在△ECB的边所在直线上时，求此时点C的对应点C'的坐标．
x+b与抛物线的另一交点为D，与y
+
【分析】（1）求出A（﹣1，0），B（3，0）、E（0，
），由△BOE∽△BND即可求解；
（2）如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点P，则点P即为所求，即可求解；
（3）分点A'落在BE边所在直线上、点A'落在CE边所在直线上、A'落在BC边所在直线上时，三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图，过点D作DN⊥x轴于点N，
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令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0，
∵a＞0∴x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 将B坐标代入y＝解得：b＝∴
，
，∴E（0，
） ，
△BOE∽△BND， ∴∵
∴
， ， ， ），
∴BN＝5，DN＝∴D（﹣2，
将点D代入y＝ax2﹣2ax﹣3a， 解得a＝
，∴
；
（2）如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点P，则点P即为所求，
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2024年中考复习练习胡不归问题专题训练含答案解析
