2024年中考复习练习胡不归问题专题训练解析
一．试题（共8小题）
1．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2
），C（1，0），D为射线AO上一
点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（ ）
A．（0，
）
B．（0，
）
C．（0，
）
D．（0，
）
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣
），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为 ； （3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个；
②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段AP+BP+PD的最小值为 ．
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4．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
5．如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）． （Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
个单位的速度运动到A后停止，
6．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，
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B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣轴交于点E，且DE：BE＝2：3． （1）求抛物线的函数表达式；
x+b与抛物线的另一交点为D，与y
（2）设P为线段BD上一点（不含端点），连接AP，一动点M从点A出发，沿线段AP以每秒1个单位的速度运动到P，再沿线段PD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点P的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
（3）将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°），当点A的对应点A'落在△ECB的边所在直线上时，求此时点C的对应点C'的坐标．
7．二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求小值；
（3）如图2，点M在抛物线上，若S△MBC＝3，求点M的坐标．
PD+PC的最
8．已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣
x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
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（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒
个
单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
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2024年中考复习练习胡不归问题专题训练解析
参考答案与试题解析
一．试题（共8小题）
1．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2
），C（1，0），D为射线AO上一
点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（ ）
A．（0，
）
B．（0，
）
C．（0，
）
D．（0，
）
【分析】假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，首先表示出总的时间，再根据根的判别式求出t的取值范围，进而求出D的坐标．
【解答】解：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1， 设D坐标为（0，y），则AD＝2∴设t＝
+
， ＝
，则t的最小值时考虑y的取值即可， ）2＝y2+1， t+1＝0，
t+1）≥0， ﹣y，CD＝
＝
，
等式变形为：t+y﹣∴t2+（y﹣∴y2+（△＝（
）t+（y﹣﹣t）y﹣t2+
﹣t）2﹣4×（﹣t2+
，
∴t的最小值为∴y＝
，
∴点D的坐标为（0，故选D．
），
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