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第3讲 导数与函数的极值、最值
[基础题组练]
1．函数f(x)＝2x＋9x－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是( ) A．25，－2 C．50，－2
3
2
3
2
B．50，14 D．50，－14
2
解析：选C.因为f(x)＝2x＋9x－2，所以f′(x)＝6x＋18x，当x∈[－4，－3)或x∈(0，2]时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x∈(－3，0)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x＋9x－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2.
2．函数f(x)＝ae－sin x在x＝0处有极值，则a的值为( ) A．－1 C．1
解析：选C.f′(x)＝ae－cos x，
若函数f(x)＝ae－sin x在x＝0处有极值， 则f′(0)＝a－1＝0，解得a＝1， 经检验a＝1符合题意， 故选C.
3．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为( )
A．120 000 cm C．150 000 cm
33
3
2
xB．0 D．e
xxB．128 000 cm D．158 000 cm
3
3
120－x解析：选B.设水箱底长为x cm，则高为cm.
2120－x??＞0，由?2得0＜x＜120. ??x＞0，
1332设容器的容积为y cm，则有y＝－x＋60x.
232
求导数，有y′＝－x＋120x.
2令y′＝0，解得x＝80(x＝0舍去)．
当x∈(0，80)时，y′＞0；当x∈(80，120)时，y′＜0. 132
因此，x＝80是函数y＝－x＋60x的极大值点，也是最大值点，
2
精品
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此时y＝128 000.故选B.
4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析：选D.由题图可知，当x<－2时，1－x>3，此时f′(x)>0；当－2 x<3，此时f′(x)<0；当1 时f′(x)>0，由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值． 5．函数f(x)＝x－3x＋4在x＝________处取得极小值． 解析：由f′(x)＝3x－6x＝0，得x＝0或x＝2.列表： 2 3 2 x f′(x) f(x) (－∞，0) ＋ 0 0 极大值 (0，2) － 2 0 极小值 (2，＋∞) ＋ 所以在x＝2处取得极小值． 答案：2 6．若函数f(x)＝x－12x＋a的极大值为11，则f(x)的极小值为____________． 解析：函数的定义域为R，f′(x)＝3x－12，令f′(x)＝0，解得x1＝－2或x2＝2.列表： 2 3 x f′(x) f(x) (－∞，－2) ＋ －2 0 极大值 16＋a＝11 (－2，2) － 2 0 极小值－16＋a (2，＋∞) ＋ 所以当x＝－2时，函数有极大值f(－2)＝16＋a，由题意得16＋a＝11，解得a＝－5， 当x＝2时，函数有极小值f(2)＝－16＋a＝－16－5＝－21. 答案：－21 7．已知函数f(x)＝ax－bln x在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝1. (1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)的极值． 精品 2 . 解：(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－， bxf(1)＝a＝1，f′(1)＝2a－b＝0， 将a＝1代入2a－b＝0，解得b＝2. (2)由(1)得f(x)＝x－2ln x(x>0)， 22x－2 所以f′(x)＝2x－＝， 2 2 xx令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得0 12 8．设函数f(x)＝aln x－bx(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切． 2(1)求实数a，b的值； 1 (2)求函数f(x)在[，e]上的最大值． e解：(1)f′(x)＝－2bx， 1 因为函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切， 2 axf′（1）＝a－2b＝0，a＝1，????所以?解得?1 1 f（1）＝－b＝－，b＝.??2??2 12 (2)由(1)知，f(x)＝ln x－x， 211－xf′(x)＝－x＝， 2 xx1 当≤x≤e时，令f′(x)>0， e1 得≤x<1， e 令f′(x)<0，得1 1 所以f(x)在[，1)上单调递增；在(1，e]上单调递减， e1 所以f(x)max＝f(1)＝－. 2 [综合题组练] 1．(2019·南昌第一次模拟)已知奇函数f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，若x＞0时，f′(x)＞0，则( ) 精品
(课标通用版)202x版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第3讲 导数与函数的极值、最值检测
