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复数与平行四边形家族
菱形、矩形、正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转化 的途径.在求解复数问题时，若能善于观察条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式的 结构特征，往往能获得简捷明快的解决方法.下面列举几例，以供参考.
一、复数式与矩形的转化
例1已知复数勺z?满足|zJ = J7 + l, |zJ = J7 — l,且|Z|—z』= 4,求互与
Zj +z2的值.
解析：设复数4, Z?在复平面上对应的点为乙，Z2,由于(V7+1)2+(V7-1)2=42, 故幅「+时 =|z(-z2r，故以0Z] , 0乙为邻边的平行四边形是矩形，从而OZ{ ± 0Z2 , 则至
Z, ZI + Z2〔 = |Z]-Z2
二、 复数式与正方形的转化
例 2 已知复数 Z], Z?满足 |z1| = |z2| = l,且 |z( -Z2| = V2 ,求证:|z, +z2|= V2 .
证明：设复数Z,在复平面上对应的点为乙，Z,,由条件知 Z]—Z』= J^zJ = J^Z』，以
再，叵为邻边的平行四边形为正方形，而Z]+Z2在复 平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以IZJ+Z^A/2 .
点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义，复数加、减法的几何意义的运用 是本题考查的重点.
三、 复数式与菱形的转化
例3 已知 Z], z2e C , z( | = | z21 = 1, Z|+z」= J5,求\\z} -z2
解析：设复数z2, z} + z2在复平面上对应的点为Z], Z2, Z ,由|z,| = |z2| = l知， 以 赤;，花为邻边的平行四边形是菱形，在△OZg中，由余弦定理，得
A ZOZ.Z = 120°, A ZZ,OZ2 = 60°,因此，△OZg?是正三角形,
|Z1
_ Z
21
=
|^2^1| = ] ?
点评:本题通过复数模的儿何意义的应用来判断四边形的形状，并且应用到了余弦定理, 使得问题解决的很巧妙.
2 ~~ (1
例4求使~? (。〉0 )为纯虚数的充要条件.
z.+6T
2
解析：?注＜ 是纯虚数，.?.可设= WeR,人。0).设复数z%屏在复 z\zw 平面上对应的点为乙，乙，以花，匝为邻边的平行四边形是菱形，二z = a
22 2 2
2
Z — （1 _ Z ~■ CL
「? z\\ = a .考虑到z = ±。
二[=0； z = ±ai时，无意义，故使—■土（。＞0）为 z-
+o~ ZW
纯虚数的充要条件是|z| =。，且z壬±。，z ±ai.
复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提.通过本文我 们发现深入抓住复数加减法的儿何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方 法也更加灵活.
复数中的数形结合
因为复数z = a+hi{a, heR)与复平而上的点Z(a, b)是一一对应的，体现了数与形 的对应，所以在复数中利用数形结合解某些问题不仅巧妙，而且也体现出一种数学之美. 知识点链接：设动点Z、定点乙，Z?分别表示复数z, 4,寻所对应的点，则
(1) |z-z,|表示点Z到点乙的距离；
(2) z — Zj — r表TH以尸为半径，点Z]为圆心的圆； (3) |z-z,| = |z-z2|表示线段Z.Z2的垂直平分线;
(4) z — Zj +1z — z.-＞ = 2tz，当 2a = Z]Z』时，表示线段Z]Z.『；
当2。＞|乙乙|时，表示以点乙，Z?为焦点，2。为长轴长的椭圆.
上述儿种曲线都可以结合(1)中的|z-zj的几何含义来理解.比如，(3)中|z-zj表 示点Z到点乙的距离，|z-zj表示点Z到点乙的距离，即点Z到点乙的距离与到点Z?的 距离相等，所以，点
Z
的轨迹是线段乙乙的垂直平分线.
下而举例说明数形结合的用法: 例1若|z + 3 + 4/|W2,则|z|的最大值为
解析：由|z + 3 + 4i|W2知，复数z对应的轨迹是以2为半径，点匕(-3,-4)为圆心的 圆及其内部，所以|z|的最大值为|0乙| +尸= 5 + 2 = 7.
例2如果复数z满足|z + z| + |z-z| = 2 ,那么|z + i + l|的最小值为(
(A) 1
(B) V2 (C) 2 (D) V5
解析：如右图，由|z +，| + |zT| = 2知，复数Z对应的点的轨迹是
)
为1一1 /\
线段 AB,其中 A(0, — l), B(0,l).
又|z + i+l|表示点C(-l,-l)到线段上点的距离，故当Z = -i时，|z + i+l|min =1? 例3复数Z满足条件|z + 2| = |z-4/|,则|z|的最小值为.
解析：由|z + 2| = |z-4，|知，复数Z对应点的轨迹为线段的垂直平分线，其中
A(—2,0), B(0,4), |z|即原点到垂直平分线上的点的距离.故|z|min=-V5.
例4复数z满足\\2z-i\\ = 2，则|z + 2z|的取值范围是( ,「15]
)
L2 2」
, 、 「3 7-
[2 2」
(C) 1,——
2 J
1 V211
(D) 2,——
[2
V2?
解析：由|2zT| = 2可得z-|=l.
(1)
因此复数z对应点Z的轨迹是以0,-,为圆心，1为半径的圆周，而
I 2J
3 7
z + 2i| = |z — (—2i)|,故点Z到点(0,- 2)的距离的最小值为一，最大值为一.
2 2
复平面与高斯
历史上，人们对虚数的认识与对负数、无理数的认识一样，经历了一个漫长的过程.
众所周知，在实数范围内负数偶次方根不存在.公元1545年，意大利人卡尔丹(Cardan) 讨论这样一个问题：把10分成两部分，使它们的积为40,他找到的答案是5 + AP15和
5-7^15 .即
(5 + VZ15) + (5-V^15) = 10, (5 + 7^15)(5 - 7^15) = 40.
《复数的几何意义》素材2(苏教版选修2-2).doc
