中小学习题试卷教育文档 【分析】（1）①a＝1时，f（x）＝，f′（x）＝，可得f′（1）＝1，又f（1）＝0．利
用点斜式即可得出f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程． ②令f′（x）＝
＝0，解得x＝e．通过列表可得函数f（x）的单调递区间及其极值．
恒成立，即x﹣1﹣alnx≥0恒成立．令g（x）＝x﹣1
．对a分类讨论，利用导数研究
（2）由题意可得：x＞0，由不等式
﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）．g′（x）＝1﹣＝函数的单调性极值与最值即可得出． 【解答】解：（1）①a＝1时，f（x）＝
，f′（x）＝
，∴f′（1）＝1，又f（1）＝0．
∴函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即x﹣y﹣1＝0． ②令f′（x）＝
x f′（x） f（x） ＝0，解得x＝e．
（0，e） + 单调递增 e 0 极大值 （e，+∞） ﹣ 单调递减 可得函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞），可得极大值为f（e）＝，为极小值．
（2）由题意可得：x＞0，由不等式
恒成立，即x﹣1﹣alnx≥0恒成立．
令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）．
g′（x）＝1﹣＝．
①若a＜0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去．
②若0＜a＜1，则函数g（x）在（a，+∞）上g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，又g（1）＝0，∴x∈（a，1）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去．
③若a＝1，则函数g（x）在（1，+∞）上g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，x∈（a，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴x＝1时，函数g（x）取得极小值即最小值，又g（1）＝0，∴x＞0时，g（x）≥0恒成立． ③若1＜a，则函数g（x）在（0，a）上g′（x）＜0，即函数g（x）单调递减，又g（1）＝0，∴x∈（1，a）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去．
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中小学习题试卷教育文档 综上可得：a＝1．
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