函数的单调性与奇偶性
知能目标
1. 了解函数的单调性的概念, 掌握判断一些简单函数的单调性的方法.
2. 了解奇函数、偶函数的意义. 综合脉络
1. 与函数单调性、奇偶性相关的知识网络
2. 函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域
为D, 则x?D时?x?D) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件 奇函数的图象关于原点对称, 在原点的两侧具有相同的单调性; 偶函数的图象关于y轴对
称, 在原点的两侧具有相异的单调性.
单调性是函数的局部性质, 函数的单调区间是定义域的子集, 即函数的增减性是相对于函
数的定义域中的某个区间而言的, 函数单调性定义中的x1、x2相对于单调区间具有任意性.
讨论函数的增减性应先确定单调区间, 用定义证明函数的增减性, 有“一设, 二差, 三判断” 三个步骤.
复合函数的单调性:
(1) 若y?f(x)是[m,n]上的增函数, 则y?f[g(x)]的增减性与u?g(x)的增减性相同;
(2) 若y?f(u)是[m,n]上的减函数, 则y?f[g(x)]的增减性与u?g(x)的增减性相反.
(一) 典型例题讲解: ( )
A.
例2. 已知a、b是常数且a≠0, f (x)?ax2?bx, 且f(2)?0, 并使方程
f(x)?x有等根.
(??, 0], (??, 1]例1. 函数f (x)＝| x | 和g (x)＝x (2－x )的递增区间依次是
B.
(??, 0], [1, ??) C.[0, ??), (??, 1]
D.[0, ??), [1, ??)
(1) 求f (x )的解析式;
(2) 是否存在实数m、n(m?n), 使f (x )的定义域和值域分别为
[m, n]和[2m, 2n]?
例3. 已知f(x)为偶函数且定义域为[?1,1], 于直线x?1对称,
当x?[2,3]时,
g(x)?2a(x?2)?3(x?2)3, a为实常数，且a?g(x)的图象与f(x)的图象关
9. 2(1) 求f(x)的解析式; (2) 求f(x)的单调区间; (3) 若f(x)的最大值为12, 求a.
(二) 专题测试与练习: 一. 选择题
1. 以下4个函数: ①f(x)?2x?1;
f(x)?lg1?x. 1?xx?1②f(x)?;
x?11?x2③f(x)?1?x2; ④
其中既不是奇函数, 又不是偶函数的是 ( )
A.①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③ ( )
A.
3. 设y＝f (x)是定义在R上的奇函数, 当x≥0时, f (x)＝x 2－2 x, 则在R上f (x)的表达式为 ( )
?x(x?2)
|x|( |x|?2 )
2a2?M B. M?2a2 C. 2M?a2 D. a2?2M
2. 已知函数f(x)?x2?lg (x?x2?1 ),若f (a)＝M, 则f (－a)等于
A. B. x( |x|?2 ) C. |x|( x?2 ) D.
4. 二次函数f (x )满足f(2?x)?f(2?x), 又f (x)在[0, 2]上是增函数, 且f (a)≥f (0), 那么实
数( )
A. a≥0 B. a≤0 C. 0≤a≤4 D. a≤0或a≥4 ( )
A. D.
6. 函数f (x )＝ax3?(a?1)x2?48(a?2)x?b的图象关于原点成中心对称, 则f
a的取值范围是
5. 函数y＝ax在[0, 1]上的最大与最小值的和为3, 则a等于
12 B. 2 C. 4
14
(x)在[?4, 4]
上( )
A. 增函数 B. [?4, 0]上是增函数, [0, 4]上C. 减函数 D. [?4, 0]上是减函数, [0, 4]上是增函数
二. 填空题
7. 定义在[?2, 2]上的偶函数g (x), 当x≥0时g (x) 单调递减, 若
g (1?m)?g (m), 则
的单调性是
是减函数
m的
取值范围是 .
8. 要使函数y＝x2?2bx?5在(2, 3)上为减函数, 则b的取值范围是 .
9 . 已知f (x )＝lg (?x2?8x?7)在(m, m?1)上是增函数, 则m的取值范围是 .
10. 函数y＝
三. 解答题 11. 用定义判断函数
2?? ?x?1, x?(0, ??)f (x )＝?2的奇偶性
?? x?1, x?( ??, 0)2x( x?(?1, ??) )1?x图象与其反函数图象的交点坐标
为 .
最新高考数学第二轮专题复习- 函数的单调性与奇偶性(含答案)
