∴∠ABQ＝120°， ∴∠OBQ＝90°， ∴BQ是⊙O的切线；
（2）①设圆的半径为r，则OQ＝6﹣r， 由（1）知，∠Q＝30°，∠OBQ＝90°， ∴
OB1＝sin30°＝, OQ2∴
r1?， 6?r2解得：r＝2； ②如图2，
当OP垂直平分AB时，线段EF取得最大值； 理由如下：
由（1）知，AQ＝6，∠Q＝∠BAQ＝30°， 可求AB＝23，
过点C作CH⊥EF，垂足为H，交AB于点K， ∵EF∥AB，
∴CK⊥AB，△ABC∽△EFC，
ABCK?， EFCHAB?CHCK?HKHK?23??23?23?∴EF＝，
CKCKCK∴
易知：CK是定值，所以，EF随着HK的增大而增大， 当HK取最大值时，EF取最大值，
∴当点P为劣弧AB的中点时，HK最大，此时OP垂直平分AB．
【点睛】此题主要考查圆的综合问题，会证明圆的切线，会运用方程思想解决问题，熟悉等腰三角形的性
质并灵活运用，会结合相似三角形的性质进行推理是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题0分，共18分）
21.为拓宽学生视野，我市某中学决定组织部分师生去庐山西海开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．为了安全，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示． 载客量/（人/辆） 租金/（元/辆）
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？租用客车总数为多少辆？ （2）设租用x辆乙种客车，租车总费用为w元，请写出w与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，租用乙种客车不少5辆，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【答案】（1）老师有16名，学生有284名；租用客车总数为8辆；（2）w＝100x+2400；（3）共有3种租车方案：①租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为2900元；②租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3000元；③租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3100元；最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆． 【解析】 【分析】
（1）设出老师有x名，学生有y名，得出二元一次方程组，解出即可；再由每辆客车上至少要有2名老师，且要保证300名师生有车坐，可得租用客车总数；
（2）由租用x辆乙种客车，得甲种客车数为：（8﹣x）辆，由题意得出w＝400x+300（8﹣x）即可； （3）由题意得出400x+300（8﹣x）≤3100，且x≥5，得出x取值范围，分析得出即可． 【详解】解：（1）设老师有x名，学生有y名．
甲种客车 30 300 乙种客车 42 400 ?17x?y?12依题意，列方程组?，
18x?y?4?解得：??x?16，
?y?284∵每辆客车上至少要有2名老师， ∴汽车总数不能超过8辆；
又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于综合起来可知汽车总数为8辆；
答：老师有16名，学生有284名；租用客车总数为8辆． （2）∵租用x辆乙种客车， ∴甲种客车数为：（8﹣x）辆， ∴w＝400x+300（8﹣x）＝100x+2400．
（3）∵租车总费用不超过3100元，租用乙种客车不少于5辆， ∴400x+300（8﹣x）≤3100，x≥5 解得：5≤x≤7，
使300名师生都有座， ∴42x+30（8﹣x）≥300， 解得：x≥5，
∴5≤x≤7，（x为整数）， ∴共有3种租车方案：
方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为2900元； 方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3000元； 方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3100元； 故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用与一次不等式的综合应用，由题意得出租用x辆甲种客车与租车费用的不等式关系是解决问题的关键．
22.已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的图象（记为抛物线C1）顶点为M，直线l：y＝2x﹣a与x轴，y轴分别交于A，B．
（1）对于抛物线C1，以下结论正确的是 ；
①对称轴是：直线x＝1；②顶点坐标（1，﹣a﹣2）；③抛物线一定经过两个定点．
30050?（取整为8）辆， 427（2）当a＞0时，设△ABM的面积为S，求S与a的函数关系；
2
（3）将二次函数y＝ax﹣2ax﹣2的图象C1绕点P（t，﹣2）旋转180°得到二次函数的图象（记为抛物线
C2），顶点为N．
①当﹣2≤x≤1时，旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的增大而减小，求t的取值范围；
②当a＝1时，点Q是抛物线C1上的一点，点Q在抛物线C2上的对应点为Q'，试探究四边形QMQ'N能否为正方形？若能，求出t的值，若不能，请说明理由． 【答案】（1）①②③；（2）S＝a（a＞0）；（3）①t??【解析】 【分析】
2
（1）二次函数y＝ax﹣2ax﹣2的对称轴为x＝?1；②t＝﹣2或1或4． 2?2a22
＝1，y＝ax﹣2ax﹣2＝a（x﹣2x）﹣2，即可求解； 2a（2）由S＝S△BMD﹣S△AMD＝
1MD（OC﹣AC），即可求解； 2（3）①而x＝1和x＝m关于P（t，﹣2）中心对称，所以P到这两条对称轴的距离相等，则1﹣t＝t﹣m，m＝2t﹣1，且：2t﹣1≤﹣2，即可求解；②分t≤1、t＞1两种情况求解即可． 【详解】解：（1）二次函数y＝ax﹣2ax﹣2的对称轴为x＝?当x＝1时，y＝﹣a﹣2；
y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x2﹣2x）﹣2，即当x＝0或2时，抛物线过定点，即（0，﹣2）、（2，﹣2）， 故答案为：①②③；
（2）由抛物线的顶点公式求得：顶点M（1，﹣a﹣2） 1﹣a＝2﹣a，求得：D（1，2﹣a） 当x＝1时，y＝2×当y＝0时，0＝2x﹣a，x＝
2
?2a＝1， 2a1a，求得：A（a/2，0） 2∴DM＝2﹣a﹣（﹣a﹣2）＝4， S＝S△BMD﹣S△AMD＝
111MD（OC﹣AC）＝×4×a＝a（a＞0）， 222
（3）①当﹣2≤x≤1时，
C1的y的值都会随x的增大而减小，而C1的对称轴为x＝1， ﹣2≤x≤1在对称轴左侧，C1开口向上，所以a＞0；
同时C2的开口向下，而又要当﹣2≤x≤1时y的值都会随x的增大而减小， 所以﹣2≤x≤1要在C2的对称轴右侧， 令C2的对称轴为x＝m，则m≤﹣2，
而x＝1和x＝m关于P（t，﹣2）中心对称，所以P到这两条对称轴的距离相等，
t??所以：1﹣t＝t﹣m，m＝2t﹣1，且：2t﹣1≤﹣2，即： ②当a＝1时，M（1，﹣3），作PE⊥CM于E，将Rt△PME绕P旋转180°，得到Rt△PQF， 则△MPQ为等腰直角三角形，因为N、Q′是中心对称点，所以四边形MQNQ′为正方形． 第一种情况，当t≤1时，
PE＝PF＝1﹣t，ME＝QF＝1，CE＝2， ∴Q（t+1，﹣t﹣1），
的1； 2
2024年江西省九江市赣北中考联盟中考数学模拟试卷（解析版）
