故选：A．
112．已知函数f(x)?x2?ax(剟xe，e为自然对数的底数）与g(x)?ex的图象上存在关于
e直线y?x对称的点，则实数a取值范围是( ) 1A．[1，e?]
e1
B．[1，e?]
e
11C．[e?，e?]
ee1D．[e?，e]
e1【解答】解：若函数f(x)?x2?ax(剟xe，e为自然对数的底数）
e与g(x)?ex的图象上存在关于直线y?x对称的点， 1则函数f(x)?x2?ax(剟xe，e为自然对数的底数）
e与函数h(x)?lnx的图象有交点， 1即x2?ax?lnx，(剟xe)有解，
e即a?x?令y?x?lnx1，(剟xe)有解， xelnx1，(剟xe)， xex2?1?lnx则y??，
x21当?x?1时，y??0，函数为减函数， e当1?x?e时，y??0，函数为增函数， 故x?1时，函数取最小值1， 当x?11时，函数取最大值e?， ee1故实数a取值范围是[1，e?]，
e
- 11 -
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设x?0，y?0，x?2y?5，则(x?1)(2y?1)xy的最小值为 43 ．
【解答】解：x?0，y?0，x?2y?5， 则(x?1)(2y?1)xy?2xy?x?2y?1xy?2xy?6xy?2xy?6xy；
由基本不等式有：
2xy?6xy…22xy6xy时，
?43；
当且仅当2xy?6xy?x?2?x?3?即：xy?3，x?2y?5时，即：?或?3时；等号成立，
?y?1?y??2故(x?1)(2y?1)xy的最小值为43；
故答案为：43 14．已知sin(??【解答】解：
13131??sin??cos??cos??sin??cos??sin(??)，
6322226??17则cos(2??)?1?2sin2(??)?1?2??，
3699?1?7 ． )?cos??，则cos(2??)的值为 6339已知sin(???)?cos??故答案为：
7． 915．定义在R上的函数f(x)满足f(x?6)?f(x)．当x?[?3，3)时，??(x?2)2;?3?x??1， f(x)??x;?1?x?3?则f（1）?f（2）?f（3）???f(2018)?f(2019)? 338 ． 【解答】解：由f(x?6)?f(x)．得函数的周期是6，
由函数表达式得f(?3)??1，f(?2)?0，f(?1)??1，f(0)?0，f（1）?1，f（2）?2，
- 12 -
即一个周期内的六个数值之和为f（1）?f（2）?f（3）?f（4）?f（5）?f（6）?1?2?1?0?1?0?1， 2019?336?6?3，
?f（1）?f（2）?f（3）???f(2018)?f(2019)?336?[f（1）?f（2）?f（3）?f（4）?f（5）?f（6）]?f（1）?f（2）?f（3） ?336?1?1?2?1?338，
故答案为：338．
x1时，16．已知函数f(x)是定义在R上的单调递增奇函数，若当?1剟f(mx2?x?m)?f(2m?1)?0恒成立，则实数m的取值范围是 (??,?【解答】解：由f(x)为奇函数，由f(mx2?x?m)?f(2m?1)?0，
2?1) ． 2?f(mx2?x?m)??f(2m?1)， ?f(mx2?x?m)?f(?2m?1)，
又函数f(x)在[?1，1]上单调递增，?mx2?x?m??2m?1在[?1，1]上恒成立， 即mx2?x?m?1?0在[?1，1]上恒成立， ??m?x?1在[?1，1]上恒成立， x2?1x?1，则?m?h(x)max在[?1，1]上恒成立， x2?1设h(x)??x2?2x?1由h?(x)?知，
(x2?1)2当x?[?1，2?1)时h?(x)?0，当x?[2?1，1]时h?(x)?0， ?h(x)在[?1，2?1)单调递增，在[2?1，1]上单调递减， ?h(x)max?h(2?1)???m?2?1， 22?12?1，?m??， 222?1)． 2故答案为：(??,?三、解答题（本大题共5小题，共70分） 17．数列{an}满足a1?1，nan?1?(n?1)an?n(n?1)
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?a?（1）证明：数列?n?是等差数列；
?n?（2）设bn?3nan，求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】（1）证明：由nan?1?(n?1)an?n(n?1)，得即
an?1an??1， n?1nan?1an??1， n?1na1?1，
?a??数列?n?是以1为首项，以1为公差的等差数列；
?n?a（2）解：由（1）得，n?1?(n?1)?1?n，
n?an?n2，
则bn?3nan?n3n．
?Sn?131?232?333???n3n，
3Sn?132?233?334???(n?1)3n?n3n?1，
两式作差可得：?2Tn?3?32?33???3n?n3n?1
3(1?3n)3n?1n?1??n3??3?n3n?1，
1?3232n?1n?1?Sn??3．
2418．如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面四边形ABCD是边长为2的正方形，
PB?PD?32，PC?4，点E为PA中点，AC与BD交于点O．
（Ⅰ）求证：OE?平面ABCD； （Ⅱ）求二面角B?PA?D的余弦值．
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【解答】证明：(I)底面四边形ABCD是边长为2的正方形，PB?PD?32，PC?4， 在?PBC中，PB2?PC2?BC2，?PC?BC， 同理可得BC?CD， 而BCCD?C，BC、CD?平面ABCD，
?PC?平面ABCD，
在?PAC中，由题意知O、E分别为AC、PA中点， 则OE//PC，而PC?平面ABCD， ?OE?平面ABCD．
解：(II)由(I)知：OE?平面ABCD，故可建立空间直角坐标系O?xyz，如图所示， A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，?1，0)，P(?1，0，4)， ?AP?(?2，0，4)，AB?(?1，1，0)，AD?(?1，?1，0)，
设n?(x,y,z)、m?(a，b，c)分别为平面PAB和平面PAD的一个法向量， ??nAP?0??mAP?0则?，?， ??nAB?0??mAD?0??2x?4z?0??2a?4c?0，?， ???x?y?0?a?b?0??不妨设z?c?1，则n?(2，2，1)，m?(2，?2，1)， ?cos?n,m??nm2?2?2?2?1?11??，
|n||m|999由图知二面角B?PA?D为钝二面角， ?二面角的B?PA?D的余弦值为?1． 9
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