图8—8序列趋势变化示意图
图8—9跳跃成分及包含跳跃成分的合成序列
四、单站年月径流随机模型的建立
对年月径流序列建立随机模型一般是对原始年月径流序列排除趋势跳跃等确定性成分后的随机成分而建立的模型。设用于建模的年径流序列为Q1，Q2，…，Qn。
径流序列随机模型是实测时间序列一种概化的数学式子。目前常见的随机模型有：线性平稳模型、非线性平稳模型，马尔柯夫模型及非马尔柯夫模型等。对年径流序列而言，常采用线性平稳模型或马尔柯夫模型。
建立随机模型的一般步骤为：①选择模型；②确定阶数；②估计模型参数
(一)单站年径流随机模型的建立
通常采用线性自回归模型，即马尔柯夫模型 1．线性自回归模型的一船形式
Qt?Q??p,1(Qt?1?Q)??p,2(Qt?2?Q)????p,p(Qt?p?Q)??t （8-15）
Qt——第t年的年径流量，t=1，2，…，常称式（8-15）的Qt为自回归系列。
Q——Qt序列的平均值；
?p,1，…，?p,p——自回归系数或偏相关系数，反映Qt在时间上相依性大小；
16
?t ——模型残差项，纯随机成分，?t 与Qt?1，Qt，…无关且是独立随机变量，其均值为
0，方差为??t。
2?Q和?p,1，Q、 由于??t与Qt的方差?Q有确定关系，因此，一般自回归模型中参数有：…，
22?p,p，共p十2个参数。
该模型说明第t年年径流量仅依赖于第t一1年、第t一2年、…、第t一p年的年径流量和一个纯随机变量?t。
若令yt?Qt?Q，则式(8—15)变为：
yt??p,1yt?1??p,2yt?2????p,pyt?p??t (8—16) 式(8—16)是中心化变量表示的自回归模型。
2．模型参数的估计
1nQ??Qi
ni?1?Q?sQ??1n(Qt?Q)2 ?n?1i?1r2r1??rp?1?rp?2?????1???1?p,1??1r1??????r1?p,2???1????????????p,3????rp?1rp?2rp?3??r1??r??2? （8-19） ???????rp??其中K阶样本自相关系数rK在n较大，K较小时，计算公式为
n?KrK?nn?K?(Qt?1tn?Q)(Qt?K?Q) （8-20）
t?(Qt?1?Q)2据推导
2??2t???Q?p,1r1???p,2r2????p,prp) （8-21） ?(1??
在数学上序列，一般假定?t为正态分布，故不需计算其偏态系数。但对于具有偏态的水文系列，一般把?t当作P-Ш型分布，因此还必须估计?t的偏态系数Cs?t。
17
1 Cs?t???3t(N?P?3)?t?P?1?(?nt?)3 （8-22） ??t?t（t=P+1，P+2，…，n）是根据估计出的以上P+2个参数及观测序列Qt，利用公式（8-15）?是根据反推序列?t利用矩法估计的。 反推得到的。平均值?t3．常见AR（1）及AR（2）模型参数估计公式
AR（1）模型形式为：
Qt?Q??1,1(Qt?1?Q)??t （8-23）
模型参数估计公式为：
?1,1?r1 ??????Q1?r12 ?tCs?t1???3t(n?4)??(?t?2nt?)2 （8-26） ??AR（2）模型形式为：
?2,1?r1(1?r2)/(1?r12) ??2,2?(r2?r12)/(1?r12) ??????Q1???2,1r1???2,2r2 ?tCs?t1???3t(n?5)??(?t?3nt?)3 （8-31） ??4．模型阶数P的确定
对于AR（P）序列，可以证明：它的自相关系数随滞时增大而减小，呈拖尾状，而偏相
?K,K?0，关系数?K,K则呈截尾状，在K?P时出现一个截止点，即在K?P时，当K?P?K,K进行模式识别。例如，当从样时，?K,K?0。因此从理论上讲，可以通过计算不同的??K,K在K?3时具有明显的截尾现象，那么可以推断该水文序列P?3即适合于本序列估计??K,K抽样误差较大，即使是AR（P）AR（3）模型。但是由于实际水文样本容量较小，故统计量??K,K可能并不为零，这样就难于做直观判断，必须进行统计推断。 序列，当K?P时，??K,K?统计推断方法是：取显著水平??0.05，若?1.96n?K,K异于0的假，则可接受? 18
?1,1超过95%容许极限，设。例如，某河流年径流偏相关系数如图8-10所示，该图表明，只有??1,1?即?1.96n，故该模型阶数应为1，即AR（1）模型。
（二） 单站月径流随机模型的建立
对已有n年实测月径流资料的单站通常有两条途径建立其月径流随机模型。一是先建立年径流模型，再通过建立解集模型把年径流分解成各月月径流。
解集模型公式为：
Y?AQ?B? （8-32）
公式中 Y--各月月径流流量，Y?(y1,y2,?y12)；
TQ--年径流量；
A --模型参数，A?(a1,a2,?a12)T，反映各月月径流流量平均分配水平； B --12×12的参数矩阵，反映各月之间的相关关系程度；
? --模型残差项，??(?1,?2,??12)T相互独立，可以是正态或偏态分布。
以上参数n由年实测资料估算。本模型结构简单，概念清晰，但因参数多，故所需实测资料较长。二是直接建立月径流随机模型，通常采用季节性一阶自回归模型，即假定可用12个一阶自回归模型来描述各月月径流流量及相关系数。各月月径流模型如下：
Qi,j?Qj?公式中
?jrj,j?1(Qi,j?1?Qj?1)??j1?rj2,j?1?j （8-33） ?j?1i--年份，i?1,2,...； j--月份，j?1,2,...12；
Qi,j--第i年第j月的月径流量；
Qj，?j--第j月的月径流均值和均方差，Q0?Q12，?0??12；
19
rj,j?1--第j月和第j-1月月径流之间的相关系数，r1,0表示第一月和上一年第十二月月径流
量相关系数；
?j--第j月纯随机变量，是模型残差想，可以是标准正态分布或标准P-Ⅲ分布，各月之间?j相互独立，且?j与Qi,j?1相互独立。
以上各有关参数可由n年实测月径流资料用矩法估算。
若?j采用标准正态分布，则月径流量也是正态分布。若?j采用标准P-Ⅲ分布，则月径流量为近似P-Ⅲ分布，生成P-Ⅲ分布?j时，还需估算?j的偏态系数
Cs?j?CsQj?rj3,j?1CsQj?1(1?rj2,j?1)3/2 （8-34）
公式中CsQj--第j月径流偏态系数，j?0时，表示的是第12月的偏态系数，该参数可用实测n年第j月月径流序列估算。
五、年月径流序列的生成（模拟）
年月径流序列模拟涉及到纯随机变量?t的生成及由?t生成年月径流序列的问题。 （一） 纯随机变量随机数的产生
纯随机变量?t的分布可以是正态，也可以是偏态。它的生成一般先生成[0，1]均匀分布随机数u，再通过变换生成指定分布的随机数。 1．均匀分布随机数的生成
生成方法有随机数表法、物理方法及数学方法。由于前两种方法存在严重缺陷，故常用数学方法生成，其中应用最广的是乘同余法。 乘同余法生成随机数递推公式是：
xn?1?MOD(?xn,M) n?0,1,2,... (8—35) un?1?xn?1/M (8—36)
式(8—35)、式(8—36)中x0为初值，?为乘子，为模，它们均为非负整数，而且?＜M。
xn?1是?xn被M整除后的余数，于是xn?1＜M，故un?1即为[0，1]上的随机数。
这种方法生成的随机数存在着循环周期，因此，un?1不是真正意义上的随机数，俗称“伪随机数”。但由于M往往取值很大，周期也很长，目前微机上周期可达10以上，实用上完全能满足需要。正因如此，实际大都使用该法生成[0，1]均匀分布随机数。不过使用前要对生
20
9
工程水文与水利计算（武大版教材）06
