华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2007 学年第1 学期 考试科目： 自动控制原理II
考试类型：闭卷 考试时间： 120 分钟
学号 姓名 年级专业 题号 得分 评阅人
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分 1、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。并画出相应的模拟结构图。（10分）
解：（1）由电路原理得：
diL1R111??iL1?uc?udtL1L1L1dt??R21iL2?ucL2L2
diL2duc11?iL1?iL2dtccuR2?R2iL2
?R1?????iL1??L1????iL2???0????uc??1??????c
0?R2L21?c1??????1?L1?iL1????L1????1??iL2???0?u?L2???? ?0?????uc0??????????1
uR2??0R2???iL1???0??iL2??? ?uc?????（2）模拟结构图为：
1 cu 1L1iL1_ _ ?R1L1iL1 1 c_ uc ?uc 1L2iL2_ iL2 ?R2L2R2 uR21L1
2、建立下列输入－输出高阶微分方程的状态空间表达式。（8分）
y?3y?2y?y?u?2u?u
解：方法一：
a1?3,a2?2,a3?1b0?0,b1?1,b2?2,b3?1
?0?b0?0?1?b1?a1?0?1?3?0?1?2?b2?a1?1?a2?0?2?3?1?2?0??1?3?b3?a1?2?a2?1?a3?0?1?3???1??2?1?1?0?2
??010??1???????x??001?x???1?u???1?2?3??2?
??????y??100?x?方法二：
2
s2?2s?1系统的传递函数为g?s??s3?3s2?2s?1
????010????0??能控型实现为??x??001??1?2?3?x???0?1?u? ?????
??y??121?x???00?1?或能观型实现为??x???10?2??1????01?3?x????2????1?u?? ??y??001?x
3、将下列状态空间表达式化为对角标准型，并计算其传递函数（10分） ??01 x???x???1??u,y??10?x ??23???1?解：（1）
x??P?1APx??P?1Bu???20?01???2????x???3??u
y?CPx???11?x??1（2）G(s)?C(SI?A)?1B??10???s?1??1??2s?3?????1???s?4s2?3s?2
4、求定常控制系统的状态响应（10分）
x?t????01???1?2??x?t????0??1??u?t?,t?0,x?0????1??0??,u?t??1?t?
解：
eAt???e?t?te?tte?t?e?t?te?t??e?t???1?tt???te?t??t1?t?? x?t??eAtx?0???teA?t?s?0bu?s?ds???1??0??
3
5、设系统的状态方程及输出方程为
?110?x???010??0??x???1??u y??001?x
??0?11????1??试判定系统的能控性和能观性。（10分）
解：（1） uc???BABA2B??
?012 ????111?，秩为2， ?1??10???系统状态不完全能控。
?（2）u?C??001?CA?o??0?11?，秩为2 ?????CA2??????0?21??系统状态不完全能观。
6、已知系统 x????11??1??00?x????1?u?
试将其化为能控标准型。（10分）
解：u?12?c??10，uc?1??01??????11?? 2?2p1?u?1??01??1??0c??011?1?12?
2?12????2p2?p1A??1?12??11??211?00????22?
P??1?2?12??121,P?1??112??????11?? 能控标准型为x????01??0??01?x??1?u ???
7、应用Lyapunov第一方法分析非线性系统在平衡状态的稳定性（10分）
4
x1??x13
x2?x1?x2?x2解：（1）求平衡点
x1?0 x2?0所以平衡点为：(0,0)
??f1??x1?f(x,t)?（2）雅克比矩阵为???xT???fn???x1?f1??xn????10? ???2?1?1?3x2???fn???xn????10?对平衡点(0,0)，系数矩阵A??，其特征值为：－1,－1，所以平衡点(0,0)??1?1?是渐进稳定的；
8、已知系统的状态方程为
?01?x??x ???2?3?试从李亚普诺夫方程PA?ATP??I解出矩阵P，来判断系统的稳定性。（10分）
?10?,解：令I????01??pP??11?p12p12? ?p22?p12??p11??p22???p12p12??01???10???2?3???0?1? p22???????0?2??p11由ATP?PA??I得 ????1?3??p12?5/41/4?P11=5/4，P12=1/4，P22=1/4,?P?? ??1/41/4??1?5/4?0,?2?5/41/41/41/4?1/4?0
可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。
9、已知系统
5
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